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第三章向量

news 2025/8/11 9:32:57

专题一向量的基本运算

注意：行列式、逆、伴随矩阵都是方阵

1.向量的定义

称 $(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$ 为 $n$ 维行向量， $(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^T$ 为 $n$ 维列向量。

相当于n维向量的n维坐标，从0点出发。

2.向量加法的定义

向量加法的定义设 $\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T$ ， $\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^T$ ，称 $(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)^T$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的和，记作 $\boldsymbol{\alpha + \beta}$ 。

3.向量数乘的定义

向量数乘的定义设 $\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T$ ， $k$ 为常数，称 $(ka_1, ka_2, \cdots, ka_n)^T$ 为 $k$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ 的数乘，记作 $k\boldsymbol{\alpha}$ 。

4.向量内积的定义

向量内积的定义设 $\boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T$ ， $\boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$ ，称 $\boldsymbol{\alpha}^T\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{\alpha}=a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积，记作 $[\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}]$ 。若 $[\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}]=0$ ，则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 正交。

内积即为一行乘一列。

显然零向量与任意向量均正交。

类比两直线垂直：

$\left\{\begin{matrix}A_1x+B_1y+C_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2=0 \end{matrix}\right.$

垂直条件： $A_1A_2+B_1B_2=0$

垂直条件的推导过程：

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

两点： $\left\{\begin{matrix}(0,0),(A_1,A_2) \\ (0,0),(B_1,B_2) \end{matrix}\right.$

$\frac{y}{A_2}=\frac{x}{B_2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A_2x-B_2y=0\\A_1x-B_1y=0 \end{matrix}\right.$

$A_1A_2+(-B_1)(-B_2)=0$

5.向量长度的定义

设 $\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^T$ ，称 $\sqrt{[\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}]} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$ 为的长度（模），记作 $\|\boldsymbol{\alpha}\|$ 。

若 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = 1$ ，则称 $\boldsymbol{\alpha}$ 为单位向量。点在单位圆上

6.正交矩阵的定义

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $AA^T = E$ 或 $A^T A = E$ ，则称 $A$ 为正交矩阵。 $AA^T$ 叫做内积

7.正交矩阵的充要条件

$A$ 为 $n$ 阶正交矩阵

$\Leftrightarrow A^{-1} = A^T$

$\Leftrightarrow A$ 的列（或行）向量组为单位正交的向量组

证明：

由 $A^T A = E$ ，得

$\begin{pmatrix} \alpha _1^T\\ \alpha _2^T\\ \vdots\\ \alpha _n^T \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha _1 &\alpha _2 & \cdots &\alpha _n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& &0 \\ & \ddots&\\ 0&&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha _1^T\alpha _1 & \alpha _1^T\alpha _2 & \cdots &\alpha _1^T\alpha _n \\ \alpha _2^T\alpha _1 & \alpha _2^T\alpha _2& \cdots &\alpha _2^T\alpha _n\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ \alpha _n^T\alpha _1 & \alpha _n^T\alpha _2& \cdots & \alpha _n^T\alpha _n \end{pmatrix}$

从而 $\alpha _i^T\alpha _i=1,\alpha _i^T\alpha _j=0 ,(i,j=1\cdots n;i\neq j)$

故 $\alpha _1,\cdots ,\alpha _n$ 单位正交

8.正交矩阵的性质

正交矩阵的性质

（1） $\vert A \vert = \pm 1$ ；

（2）若 $A,B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则 $-A, AB, A^T, A^{-1}, A^*$ 均为正交矩阵.

证明： $(-A)(-A)^T=AA^T=E$

$(AB)(AB)^T=AB\cdot B^TA^T=E$

$A^*\cdot (A^*)^T=A^*\cdot (A^T)^*=(A A^T)^*=E^*=\left | E \right |E^{-1}=E$

9.Schmidt正交化的定义

Schmidt 正交化的定义设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，令则 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 两两正交，将其单位化，除以他的模，得

则 $\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_s$ 为单位正交的向量组，

从 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 到 $\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_s$ 的过程称为 Schmidt 正交化.

专题二线性表示

1.线性组合的定义

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ ，对任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，称 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s$ 为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 的线性组合。

2.线性表示的定义

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与向量 $\boldsymbol{\beta}$ ，若存在一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使得 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ $\boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s$ ，则称 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示。

示例设 $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 0)^T$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2 = (0, 1)^T$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3 = (1, 1)^T$ ， $\boldsymbol{\beta} = (2, 3)^T$ ，则 $\boldsymbol{\beta} = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2 = -\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3$ 。

3.向量组等价的定义

设向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ ，向量组（II） $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ ，若向量组（II）中的每个向量均可由向量组（I）线性表示，则称向量组（II）可由向量组（I）线性表示。

若向量组（I）与（II）可以相互线性表示，则称向量组（I）与（II）等价。

示例设

向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_1 = (1, 0, 0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2 = (0, 1, 0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3 = (0, 0, 1)^T$ ，

向量组（II） $\boldsymbol{\beta}_1 = (1, 1, 1)^T,\boldsymbol{\beta}_2 = (1, 1, 0)^T,\boldsymbol{\beta}_3 = (1, 0, 0)^T$ ，

则

$\boldsymbol{\alpha}_1 = \boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\beta}_2 - \boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\beta}_1 - \boldsymbol{\beta}_2,$ $\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1$ ，

故向量组（I）与（II）等价。

4.线性表示的充要条件

非零向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示

$\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_s\end{pmatrix} = \boldsymbol{\beta}$ 有解

$\Leftrightarrow r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \mid \boldsymbol{\beta})$ 系数矩阵和增广矩阵

5.向量组等价的充要条件

向量组（I） $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与向量组（II） $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 等价 $\Leftrightarrow r(\text{I}) = r(\text{I, II}) = r(\text{II})$

三秩相等，向量组等价

6.线性表示的充分条件

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 唯一地线性表示。

7.☆线性表示的求法

设向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示，对 $(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \mid \boldsymbol{\beta})$ 作初等行变换，化为行最简形矩阵，解得线性表示的系数。

行最简形：每行第一个非零的数为1,1的下方和上方均为0（单位矩阵是行最简形）

专题三线性相关与线性无关

1.线性相关与线性无关的定义

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ ，若存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使得 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_s\boldsymbol{\alpha}_s = \boldsymbol{0}$ 则称 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，否则称其线性无关.

线性无关的定义：若线性组合为0，则系数全为0

【评注】

（1）向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关 $\Leftrightarrow \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$ ；一个向量相关。

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关 $\Leftrightarrow \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 对应分量成比例；两个向量相关。

（2）两个向量线性相关的几何意义是两个向量共线；

三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.

2.线性相关的充要条件

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关

$\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可由其余向量线性表示

证明：

$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_s\end{pmatrix} = \boldsymbol{0}$ 有非零解

非零解：能线性表示，不全为0，有非零解

$\Leftrightarrow r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s) < s$

推论 $n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n| = \boldsymbol{0}$

3.线性相关的充分条件

（1）含有零向量的向量组线性相关；

证明： $1\cdot 0+0\cdot \alpha =0$

（2）部分相关，则整体相关；

（3）高维相关，则低维相关；

例如： $2\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 2\\ 2 \end{pmatrix}=0$ ，4维相关，2维相关， $2\begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 2 \end{pmatrix}=0$

（4）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示，且 $s > t$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关（即以少表多，则多必相关）；

逆否命题：设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示，则 $s \leq t$ （即无关被表，则个数不多）。（无关向量组）（小于）

推论 $n + 1$ 个 $n$ 维向量（即向量维数小于向量个数）线性相关。

例如：任意4个3维向量均可由 $\alpha _1=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\alpha _2=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\alpha _3=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ 表示（以少表多）

4.线性无关的充要条件

向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关

$\Leftrightarrow$ 任意向量均不能由其余向量线性表示

$\Leftrightarrow r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s) = s$

推论 $n$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关 $\Leftrightarrow |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n| \neq \boldsymbol{0}$

5.线性无关的充分条件

（1）整体无关，则部分无关；

（2）低维无关，则高维无关；

（3）不含零向量的正交向量组线性无关；

证明：

（4）不同特征值的特征向量线性无关。

专题四极大线性无关组与向量组的秩

1.极大线性无关组的定义

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 中存在 $r$ 个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}$ 线性无关，再加入其余任意向量就线性相关（其余向量均可由其线性表示），则称 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1}, \boldsymbol{\alpha}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{i_r}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 的极大线性无关组。

2.向量组的秩的定义

极大线性无关组中向量的个数称为向量组的秩。

【评注】（1）极大线性无关组不唯一，若向量组的秩为 $r$ ，则任意 $r$ 个线性无关的向量均为极大线性无关组；

例如： $\alpha _1=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\alpha _2=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\alpha _3=\begin{pmatrix} 2\\ 0 \end{pmatrix},\alpha _4=\begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix}$

$\alpha _1,\alpha _2;\: \alpha _3,\alpha _4;\; \alpha _1,\alpha _4;\; \alpha _2,\alpha _3;$ 均为极大无关组，r=2。2个

（2）矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩。

例如： $A=\begin{pmatrix} \alpha _1 ,& \alpha _2 ,& \alpha _3 ,&\alpha _4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 &1 & 0&2 \end{pmatrix}$ 的秩为2

3.极大线性无关组的求法

对 $(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s)$ 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中每行第一个非零元素对应的列向量构成极大线性无关组

例如： $\begin{pmatrix} \alpha _1 ,& \alpha _2 ,& \alpha _3 ,& \alpha _4 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 & 3 &4 \\ 0 & 1&2 &3 \\ 0 & 0 &0 & 2 \end{pmatrix}$