【线性代数】线性方程组与矩阵——（2）矩阵与线性方程组的解

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4. 克拉默法则

• 如果线性方程组的系数矩阵 $\mathrm{A}$ 的行列式不等于0，即 $|A|\ne 0$，那么方程组有唯一解 $x_1=\frac{{\mathrm{A}}_1}{|\mathrm{A}|},x_2=\frac{{\mathrm{A}}_2}{|\mathrm{A}|},\dots ,x_n=\frac{{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}}{|\mathrm{A}|}$，其中 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}$ 是将 $\mathrm{A}$ 的第 $i$ 列换成方程组的常数列得到的矩阵。

  $Ax=b,x=A^{-1}b=\frac{A\ast b}{|A|}$

• 克拉默法则解决了方程个数与未知数个数相等且系数矩阵可逆的线性方程组的求解问题。

5. 矩阵分块法

• 将矩阵 $\mathrm{A}$ 用若干条纵线或横线分成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为 $\mathrm{A}$ 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
• 分块矩阵的运算
  • 设 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ 是同型矩阵，采用相同的分块法，那么 $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ 等于 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 对应子块相加得到的矩阵。
  • 设矩阵 $\mathrm{A}$ 和数 $\lambda$，那么 $\lambda \mathrm{A}$ 等于 $\lambda$ 与 $\mathrm{A}$ 对应子块相乘得到的矩阵。
  • 设 $\mathrm{A}$ 是 $m\times l$ 矩阵，$\mathrm{B}$ 是 $l\times n$ 矩阵，将 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 进行分块，使得 $\mathrm{A}$ 每一个子块的列数等于 $\mathrm{B}$ 对应子块的行数，那么 $\mathrm{AB}$ 等于 $\mathrm{A}$ 的每一个子块与 $\mathrm{B}$ 的对应子块相乘得到的矩阵。
  • 设矩阵 $\mathrm{A}$，则 ${\mathrm{A}}^T$ 等于 $\mathrm{A}$ 对应子块的转置矩阵，然后子块整体进行转置后的矩阵。
  • 设 $\mathrm{A}$ 是 $n$ 阶方阵，若 $\mathrm{A}$ 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块 ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\dots ,{\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}$，且非零子块都是方阵，那么称 $\mathrm{A}$ 为分块对角矩阵。
    • $|A|=|{\mathrm{A}}_1||{\mathrm{A}}_2|\dots |{\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}|$
    • 若 $|{\mathrm{A}}_{\mathrm{i}}|\ne 0$，则 $|A|\ne 0$，并有 ${\mathrm{A}}^{-1}=\mathrm{diag}({\mathrm{A}}_1^{-1},{\mathrm{A}}_2^{-1},\dots ,{\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}^{-1})$
  • 设 $\mathrm{A}$ 是 $n$ 阶方阵，若 $\mathrm{A}$ 的分块矩阵只有在副对角线上有非零子块 $\left|\begin{array}{cccc}& & & {\mathrm{A}}_1\\ & & {\mathrm{A}}_2& \\ & \cdots & & \\ {\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}& & & \end{array}\right|$，且非零子块都是方阵，有 ${\mathrm{A}}^{-1}=\left|\begin{array}{cccc}& & & {{\mathrm{A}}_{\mathrm{s}}}^{-1}\\ & & {{\mathrm{A}}_{\mathrm{s}-1}}^{-1}& \\ & \cdots & & \\ {{\mathrm{A}}_1}^{-1}& & & \end{array}\right|$。
• 矩阵的按行（列）分块可以将矩阵分解为若干个行（列）向量，由此可以进一步领会矩阵乘法的定义，以及给出线性方程组的另一矩阵表示：
  $$x_1{\mathrm{a}}_1+x_2{\mathrm{a}}_2+\cdots +x_n{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}$$
• 矩阵 $\mathrm{A}=\mathrm{O}$ 的充分必要条件是方阵 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\mathrm{A}=\mathrm{O}$
  • 将 $\mathrm{A}$ 按行分块，有 ${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}}=0$
  • 特殊地，${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}=0$，即 $\sum _{i=1}^n{a}_{ij}^2=0$，即 $a_{ij}=0$，所以 $\mathrm{A}=\mathrm{O}$
  • 特殊地，列向量 $\mathrm{a}=0$ 的充分必要条件是 ${\mathrm{a}}^{\mathrm{T}}\mathrm{a}=0$。范数为0要求所有分量都为0。

6. 矩阵的初等变换

• 在求解线性方程组的过程中，经常需要对线性方程进行数乘、加减、交换操作，这些操作前后的方程组是同解的，并且操作是可逆的。将这些同解变换移植到矩阵上，就得到了矩阵的3种初等变换。

• 矩阵的初等行变换

  • 对换两行，记作 $r_i\leftrightarrow r_j$
  • 以数 $k\ne 0$ 乘某一行中所有元素，记作 $k{r}_i$
  • 将某一行乘数 $k\ne 0$ 后加到另一行中，记作 $r_i+k{r}_j$

• 把矩阵初等行变换定义中的“行”换成“列”，就得到了矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换与初等列变换统称初等变换。

• 如果矩阵 $\mathrm{A}$ 经过有限次初等行变换变成矩阵 $\mathrm{B}$，那么称矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 行等价，记作 $\mathrm{A}\stackrel{r}{\sim }\mathrm{B}$；类似地定义矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 列等价，记作 $\mathrm{A}\stackrel{c}{\sim }\mathrm{B}$；类似地定义矩阵 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 等价，记作 $\mathrm{A}\sim \mathrm{B}$。

  • 反身性：$\mathrm{A}\sim \mathrm{A}$
  • 对称性：$\mathrm{A}\sim \mathrm{B}$ 则 $\mathrm{B}\sim \mathrm{A}$
  • 传递性：$\mathrm{A}\sim \mathrm{B}$ 且 $\mathrm{B}\sim \mathrm{C}$ 则 $\mathrm{A}\sim \mathrm{C}$

• 非零矩阵若满足以下条件称为行阶梯形矩阵：

  • 非零行在零行之上
  • 非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右侧

• 行阶梯形矩阵若满足以下条件称为行最简形矩阵：

  • 非零行的首非零元都是1
  • 首非零元所在的列其余元素都是0

• 用归纳法可以证明，矩阵 $\mathrm{A}$ 总可以经过有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。

• 由行最简形矩阵可以写出线性方程组的解，反之可以写出方程组对应的行最简形矩阵，因此求解线性方程组的本质是把增广矩阵通过初等行变换化为行最简形矩阵。

• 对行最简形矩阵进行初等列变换，可以得到标准形。对于矩阵 ${\mathrm{A}}_{m\times n}$ ，总可以经过有限次初等变换化为标准形 $\mathrm{F}={\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{E}}_r& O\\ O& O\end{array}\right)}_{m\times n}$，此标准形由 $m,n,r$ 三个数完全确定，其中 $r$ 是行阶梯形矩阵中非零行的行数。所有与 $\mathrm{A}$ 等价的矩阵组成的集合，标准形 $\mathrm{F}$ 是形状最简单的矩阵。

• 设 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 是 $m\times n$ 矩阵，那么

  • $\mathrm{A}\stackrel{r}{\sim }\mathrm{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathrm{P}$，使得 $\mathrm{PA}=\mathrm{B}$
  • $\mathrm{A}\stackrel{c}{\sim }\mathrm{B}$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathrm{Q}$，使得 $\mathrm{AQ}=\mathrm{B}$
  • $\mathrm{A}\sim \mathrm{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathrm{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathrm{Q}$，使得 $\mathrm{PAQ}=\mathrm{B}$
    • 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵显然是可逆的。
    • 对矩阵 ${\mathrm{A}}_{m\times n}$ 施加一次初等行变换，相当于 $\mathrm{A}$ 左乘相应的 $m$ 阶初等矩阵；对矩阵 ${\mathrm{A}}_{m\times n}$ 施加一次初等列变换，相当于 $\mathrm{A}$ 右乘相应的 $n$ 阶初等矩阵。

• 方阵 $\mathrm{A}$ 可逆的充分必要条件是 $\mathrm{A}\stackrel{r}{\sim }\mathrm{E}$。

  • 方阵 $\mathrm{A}$ 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\dots ,{\mathrm{P}}_{\mathrm{s}}$，使得 $\mathrm{A}={\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\dots {\mathrm{P}}_{\mathrm{s}}$
    • 充分性：初等矩阵可逆
    • 必要性：${\mathrm{A}}_n$ 经有限次初等行变换成为行最简形矩阵 $\mathrm{B}$，即存在初等矩阵 $Q_1,\dots ,Q_s$，使得 ${\mathrm{Q}}_1\dots {\mathrm{Q}}_{\mathrm{s}}\mathrm{A}=\mathrm{B}$，因为 $\mathrm{A},{\mathrm{Q}}_1\dots {\mathrm{Q}}_{\mathrm{s}}$ 都是可逆的，所以 $\mathrm{B}$ 可逆，$|\mathrm{B}|\ne 0$，从而 $\mathrm{B}$ 的非零行数为 $n$，即 $\mathrm{B}$ 有 $n$ 个首非零元1，因此 $\mathrm{B}={\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}$，从而 $\mathrm{A}={\mathrm{Q}}_1^{-1}\dots {\mathrm{Q}}_{\mathrm{s}}^{-1}{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{P}}_1\dots {\mathrm{P}}_{\mathrm{s}}$，其中 ${\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}={\mathrm{Q}}_{\mathrm{i}}^{-1}$
  • $\mathrm{A}$ 可逆 $\iff$ 存在可逆矩阵 $\mathrm{P}$，使得 $\mathrm{PA}=\mathrm{E}$ $\iff$ $\mathrm{A}\stackrel{r}{\sim }\mathrm{E}$

• 已知$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{PA}=\mathrm{B}$，求$\mathrm{P}$。

  • $\{\begin{array}{l}\mathrm{PA}=\mathrm{B}\\ \mathrm{PE}=\mathrm{P}\end{array}\iff \mathrm{P}(\mathrm{A},\mathrm{E})=(\mathrm{B},\mathrm{P})\iff (\mathrm{A},\mathrm{E})\stackrel{\mathrm{r}}{\sim }(\mathrm{B},\mathrm{P})$。
  • 注意$\mathrm{P}$ 可能并不惟一，比如 $\mathrm{B}$ 存在零行时。

• 已知 $\mathrm{A}$ 可逆，求 ${\mathrm{A}}^{-1}$。

  • $\{\begin{array}{l}{\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{A}=\mathrm{E}\\ {\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{E}={\mathrm{A}}^{-1}\end{array}\iff {\mathrm{A}}^{-1}(\mathrm{A},\mathrm{E})=(\mathrm{E},{\mathrm{A}}^{-1})\iff (\mathrm{A},\mathrm{E})\stackrel{\mathrm{r}}{\sim }(\mathrm{E},{\mathrm{A}}^{-1})$。

• 已知矩阵方程 $\mathrm{AX}=\mathrm{B}$，求 $\mathrm{X}$。

  • 引入 $\mathrm{A}$ 的行最简形矩阵 $\mathrm{F}$，即 $\mathrm{PA}=\mathrm{F}$
  • $\{\begin{array}{l}\mathrm{PA}=\mathrm{F}\\ \mathrm{PB}=\mathrm{PB}\end{array}\iff (\mathrm{A},\mathrm{B})\stackrel{\mathrm{r}}{\sim }(\mathrm{F},\mathrm{PB})$。如果 $\mathrm{F}=\mathrm{E}$，则 $\mathrm{A}$ 可逆，且 $\mathrm{P}={\mathrm{A}}^{-1}$，从而方程存在惟一解 $\mathrm{X}=\mathrm{PB}={\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{B}$。

• 求解线性方程组 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$。

  • 显然这是求解矩阵方程的特例，因此也可以把增广矩阵 $(\mathrm{A},\mathrm{b})$ 通过初等行变换化为行最简形矩阵，如果可以变换成 $(\mathrm{A},\mathrm{b})\stackrel{\mathrm{r}}{\sim }(\mathrm{E},{\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{b})$，则方程有惟一解 $\mathrm{x}={\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{b}$。

7. 矩阵的秩

• 矩阵子式：在矩阵 ${\mathrm{A}}_{m\times n}$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列($k\le m,k\le n$)，位于这些行和列交叉处的 $k^2$ 个元素按原来的次序构成一个 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的 $k$ 阶子式。
• 设 $\mathrm{A}\stackrel{r}{\sim }\mathrm{B}$，则 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 中非零子式的最高阶数相等。
  • 先证一次初等行变换不会改变非零子式最高阶的阶数。
    • 对换两行或数乘某一行显然不会改变
    • 当 $\mathrm{A}\stackrel{r_i+k{r}_j}{\sim }\mathrm{B}$ 时，由于 $r_i\leftrightarrow r_j$ 时结论成立，因此只需考虑 $\mathrm{A}\stackrel{r_1+k{r}_2}{\sim }\mathrm{B}$ 这一特殊情况。
      • 如果 $D$ 是 $\mathrm{A}$ 的 $r$ 阶非零子式，并且不包含第1行，则 $D$ 也是 $\mathrm{B}$ 的 $r$ 阶非零子式。
      • 如果 $D$ 包含第1行，则 $\mathrm{B}$ 中与 $D$ 对应的 $r$ 阶子式 $D_1=\left|\begin{array}{c}{r}_1+k{r}_2\\ r_p\\ ⋮\\ r_q\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{r}_1\\ r_p\\ ⋮\\ r_q\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{c}{r}_2\\ r_p\\ ⋮\\ r_q\end{array}\right|=D+k{D}_2$。如果 $p=2$，则 $D_1=D\ne 0$；如果 $p\ne 2$，则 $D_2$ 也是 $\mathrm{B}$ 的 $r$ 阶子式，由 $D_1-k{D}_2=D\ne 0$，可知 $D_1,D_2$ 不同时为0，总之 $\mathrm{B}$ 存在 $r$ 阶非零子式 $D_1$ 或 $D_2$。
    • 记 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 中非零子式的最高阶数分别为 $s,t$，则 $s\le t$。
    • $\mathrm{B}$ 经一次初等行变换也能变成 $\mathrm{A}$，则 $t\ge s$。
    • 因此 $s=t$。
• 在上面的讨论中，可以发现值得关注的不是非零子式本身，而是它的最高阶数，由此给出矩阵的秩的定义：
  • 设矩阵 $\mathrm{A}$ 中有一个 $r$ 阶非零子式 $D$，且所有的 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）都等于0，那么称 $D$ 为矩阵 $\mathrm{A}$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $\mathrm{A}$ 的秩，记作 $R(\mathrm{A})$。 规定零矩阵的秩为0。
  • 可以通过观察选取最大的非零子式来求矩阵的秩
• 若矩阵 $\mathrm{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则 0≤R(A)≤min⁡{m,n}0\le R(\mathrm{A}) \le \min\{m,n\}0≤R(A)≤min{m,n}。子式的定义约束的，秩最大为矩阵的最小维度，最小为0。
• $R({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}})=R(\mathrm{A})$。行列式与其转置相等，因此 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$ 与 $\mathrm{A}$ 的子式对应相等。
• 可逆矩阵是满秩矩阵，奇异矩阵（不可逆矩阵）是降秩矩阵。可逆矩阵的行列式非零，因此可逆矩阵的秩等于方阵的阶数。
• 若 $\mathrm{A}\sim \mathrm{B}$，则 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{B})$。矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。矩阵初等列变换对应其转置的初等行变换，因此初等列变换也不改变矩阵的秩。另外行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数，由此可以通过将矩阵化为行阶梯形矩阵来求秩。
• 若可逆矩阵 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ 使得 $\mathrm{PAQ}=\mathrm{B}$，则 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{B})$。
• 若 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ 可逆，则 $R(\mathrm{PAQ})=R(\mathrm{A})$。
• max⁡{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)\max\{R(\mathrm{A}),R(\mathrm{B})\}\le R(\mathrm{A,B}) \le R(\mathrm{A})+R(\mathrm{B})max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)，特别地，当 $\mathrm{B}=\mathrm{b}$ 为非零列向量时，有 $R(\mathrm{A})\le R(\mathrm{A},\mathrm{b})\le R(\mathrm{A})+1$。
  • $R(\mathrm{A})\le R(\mathrm{A},\mathrm{B}),R(\mathrm{B})\le R(\mathrm{A},\mathrm{B})$
  • 设 $R(\mathrm{A})=r,R(\mathrm{B})=t$，则 $R({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}})=r,R({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}})=t$。将 ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}},{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}$ 分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵 $\stackrel{\sim }{\mathrm{A}},\stackrel{\sim }{\mathrm{B}}$，则 $\left(\begin{array}{c}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{c}\stackrel{\sim }{\mathrm{A}}\\ \stackrel{\sim }{\mathrm{B}}\end{array}\right),R(\mathrm{A},\mathrm{B})=R{\left(\begin{array}{c}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)}^T=R\left(\begin{array}{c}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}\stackrel{\sim }{\mathrm{A}}\\ \stackrel{\sim }{\mathrm{B}}\end{array}\right)\le r+t=R(\mathrm{A},\mathrm{B})$
• $R(\mathrm{A}+\mathrm{B})\le R(\mathrm{A})+R(\mathrm{B})$
  • 将矩阵 $\left(\begin{array}{c}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}\\ {\mathrm{B}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}\end{array}\right)$ 作初等行变换 $r_i-r_{n+i}(i=1,2,\dots ,n)$，即得 $\left(\begin{array}{c}\mathrm{A}+\mathrm{B}\\ \mathrm{B}\end{array}\right)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{c}\mathrm{A}\\ \mathrm{B}\end{array}\right)$
  • $R(\mathrm{A}+\mathrm{B})\le R\left(\begin{array}{c}\mathrm{A}+\mathrm{B}\\ \mathrm{B}\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}\mathrm{A}\\ \mathrm{B}\end{array}\right)=R({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}},{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}{)}^T=R({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}},{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}})\le R({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}})+R({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}})=R(\mathrm{A})+R(\mathrm{B})$
• 列满秩矩阵：矩阵的秩等于其列数。
  • 若 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}\times \mathrm{l}}=\mathrm{C}$，且 $R(\mathrm{A})=n$，则 $R(\mathrm{B})=R(\mathrm{C})$
    • 由 $R(\mathrm{A})=n$，$\mathrm{A}\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{c}{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}\\ O\end{array}\right)$
    • $R(\mathrm{AB})=R(\mathrm{PAB})=R\left(\begin{array}{c}\mathrm{B}\\ O\end{array}\right)=R(\mathrm{B})=R(\mathrm{C})$
  • 特别地，若 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}\times \mathrm{l}}=\mathrm{O}$，且 $R(\mathrm{A})=n$，则 $\mathrm{B}=O$，这一结论通常称为矩阵乘法的消去律。

8. 矩阵的秩与线性方程组的解

• 线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它不相容。
• $n$ 元线性方程组 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$
  • 无解的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})<R(\mathrm{A},\mathrm{b})$
  • 有惟一解的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{b})=n$
  • 有无限多解的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{b})<n$
    • 将 $(\mathrm{A},\mathrm{b})$ 化为行最简形矩阵 $\stackrel{\sim }{B}$
    • 若 $R(\mathrm{A})<R(\mathrm{A},\mathrm{b})$，则 $\stackrel{\sim }{B}$ 存在对应于矛盾方程 $0=1$ 的行，所以方程组无解
    • 若 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{b})=r$，则把 $\stackrel{\sim }{B}$ 中 $r$ 个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数，其余 $n-r$ 个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于 $c_1,c_2,\dots ,c_{n-r}$，由此可以写出含 $n-r$ 个参数的通解。当 $r=n$ 时，方程有惟一解。
• $n$ 元齐次线性方程组 $\mathrm{Ax}=0$ 有非零解的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})<n$
• 线性方程组 $\mathrm{Ax}=\mathrm{b}$ 有解的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{b})$
• 矩阵方程 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}{\mathrm{X}}_{\mathrm{n}\times \mathrm{s}}={\mathrm{B}}_{\mathrm{m}\times \mathrm{s}}$ 有解的充分必要条件是 $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{B})$
  • 将 $\mathrm{X},\mathrm{B}$ 按列分块，记为 $\mathrm{X}=({\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,\dots ,{\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}),\mathrm{B}=({\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{s}})$
    $$\begin{array}{rl}\mathrm{AX}=\mathrm{B}有解& \iff \mathrm{A}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}={\mathrm{b}}_{\mathrm{i}}有解(i=1,2,\dots ,s)\\ & \iff R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}})(i=1,2,\dots ,s)\\ & \iff R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,\dots ,{\mathrm{b}}_{\mathrm{s}})=R(\mathrm{A},\mathrm{B})\end{array}$$
• 设 $\mathrm{AB}=\mathrm{C}$，则 R(C)≤min⁡{R(A),R(B)}R(\mathrm{C})\le \min\{R(\mathrm{A}),R(\mathrm{B})\}R(C)≤min{R(A),R(B)}
  • $R(\mathrm{A})=R(\mathrm{A},\mathrm{C})\ge R(\mathrm{C})$
  • ${\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}={\mathrm{C}}^{\mathrm{T}},R(\mathrm{B})=R({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}})=R({\mathrm{B}}^{\mathrm{T}},{\mathrm{C}}^{\mathrm{T}})\ge R({\mathrm{C}}^{\mathrm{T}})=R(\mathrm{C})$

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