数据结构初阶（7）树 二叉树

逻辑结构的分类

（1）线性结构

• 线性表

（2）非线性结构

• 树结构
• 图结构
• 集合结构

1. 树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构（图）

• 子树是不相交的——树里面没有环；（图）
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
• 一棵N个结点的树有N-1条边；

1.2 树的相关概念

树的相关概念（树中的概念都是类比“树”和“人类亲缘关系”，来定义的）

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A结点的度为6。
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

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• 叶节点（终端节点）：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点。
• 分支节点（非终端节点）：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

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• 双亲节点（父节点）：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

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• （亲）兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

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• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度（深度）：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

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• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；（并查集）

（子树之间不能称森林）

一颗树有两种结点构成：分支结点、叶子结点。

根节点的层次——有争议

• 根节点的层次为0（空树的高度为-1，比较奇怪）
• 根节点的层次为1（建议）

数组的下标从0开始，根本原因在于数组的访问a[0]的本质是指针解引用*(a+0)。

树的拆分 = 根 + n棵子树（=根 + m棵子树（=根+……））（递归思维）

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了。

既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。

1.3.0 孩子表示法

由于树的孩子结点数目是不确定的，就不能简单地像单链表一样一个结点使用一个指针链向下一个结点。

树的最大孩子结点数目——树的度N，是确定的，那每个结点就给N个指针。

但是只有度最大的结点会使用到全部6个数组空间，其他度很小的节点用这个结构就会产生很大的空间浪费。（二叉树的链式存储，是这种方式——二叉树最多两个孩子）

实际中树有很多种表示方式如：

双亲表示法、孩子表示法、孩子-双亲表示法、孩子-兄弟表示法等。

我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子-兄弟表示法 。（针对任意树）

（二叉树最常用孩子表示法，记录该结点所有的子树地址）

1.3.1 孩子-兄弟表示法

树的节点的结构

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* first_Child;          // 第一个孩子结点struct Node* next_Brother;         // 指向其下一个（亲）兄弟结点DataType _data;                    // 结点中的数据域
};

1.3.2 双亲表示法（只能往上找父亲）

• 物理结构：数组(内存中如何存储)
• 逻辑结构：森林(想象出来的)

除了节点的值之外，只去存自己的双亲(父节点)。

1. 存父节点的指针（地址）——链式存储
2. 存父节点的下标——顺序存储

结果：只能往回找祖宗不能往下找孩子。

并查集就是这样设计的

好处：可以用一个存储结构（链表、顺序表）表示一个森林

1. 怎么知道是几棵树?→看根的个数（根下标-1、父地址NULL）
2. 怎么知道属于哪棵树?→一步一步往回找祖宗，看最后根下标，一样就属于同一棵树。

应用：判断两个元素是否属于同一个朋友圈。

1.3.3 孩子表示法（只能往下找孩子）

二叉树就是使用的这种表示法。

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

数据结构的类型

• 存储型：用于存储数据。
• 表示型：表示某种结构（同时也是在存储数据）。（树、图）

Windows的文件系统可以认为是一个森林。

C盘和D盘两个根目录可以认为是两个根，用的就是左孩子右兄弟表示法。

新建文件夹相当于新建一个兄弟。

平时画的思维导图也可以理解为一种树形结构。

2. 二叉树概念及结构

数据结构的核心应用还是存储数据，用树来存储数据没有多大的好处，除非像上面那种一个结点下面有多个分支的场景。

更多的时候，由很多数据需要存储，还是会选择：顺序表、链表。

树形结构比较复杂，实践当中用得并不多。

树这个部分真正用得多的是二叉树——最多有两个孩子的树。

（加了限制的树，才方便控制，才能广泛应用）

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

由于二叉树一个节点最多只有两个孩子，于是二叉树这里便把孩子作了严格的区分：

——左孩子、右孩子。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

 注意

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

那二叉树用来存储数据有什么意义呢？

没什么意义，更适用的是顺序表、链表，没有必要用树来存。

二叉树单纯存储数据是没啥价值——不如顺序表/链表。

树→二叉树→更加限制的二叉树，才是实践中有比较多的应用。

以前的顺序表、链表主要用于存储数据，栈和队列在存储数据上加了一些要求。

这里学的数据结构除了进行数据存储，还要实现一些特定的功能。

应用①——搜索二叉树

例子：找61一定在48右边。

→有没有可能在48左边呢？比如25的右边→答:不可能——因为当初61在插入的时候就不可能往48左边走，更不可能到达25右边的位置

→所以说二叉搜索树的特点：左子树的右孩子一定比父亲大、比爷爷小。

二叉搜索树（搜索二叉树）

要求

• 左子树 < 根 < 右子树（这也是插入数据、查找数据的规则）

应用

• 存储数据
• 查找数据

优势

• 最多查找高度次

缺陷

• 按自然顺序插入→搜索二叉树退化成链表——查找效率O(N)

（单链表只有一个指针，二叉树是两个指针，还有一个指向NULL）

AVL树、红黑树（搜索二叉树再扩展的两种树）

……

多叉搜索树（压缩高度）——M阶B树（数据库引擎）

……

二叉树线索化：方便遍历，实践中没什么用。

哈夫曼树（二叉树）：主要用于文件压缩算法，实际当中用得比较少。

2.2 现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k)-1，则它就是满二叉树。（前n-1层每个结点的度都是2，叶子结点都在最后一层）
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点，都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

（前n-1层都是满的，最后一层不一定满，但是要求从左到右连续）

满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是(2^h)-1

3. 对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，
则有 n0 ＝ n2 ＋1。

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = log2(n+1)。

(ps： log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则：

① 序号为i的结点的双亲结点

• 若 i=0，i为根节点编号，无双亲节点。
• 若 i > 0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；

② 序号为i的结点的孩子结点

• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1；
• 若2i+1>=n，则无左孩子；
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2；
• 若2i+2>=n，则无右孩子；

性质选择题

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储：顺序结构、链式结构。

2.5.1 顺序存储

顺序结构存储：使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。

而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆后面的章节会专门讲解。

二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

不存储父亲的下标。

而是

• 根据二叉树的结构，一层一层地，从左到右，依次存储；
• 留出对应的完全二叉树的缺失的位置的空间。

这样父亲的下标和孩子的下标就有了某种对应关系：

左孩子都是奇数位，右孩子都是偶数位（减1除2和减2除2一样）。

支持：父亲找孩子、孩子找父亲。

给到一个顺序存储的二叉树，还原树形结构：

先取一个（第一层）→再取两个（第2层）→再取4个（第3层）→再……

存的时候一层一层往里存，取的时候也一层一层往外取。

结论

数组存储只适合完全二叉树和满二叉树，用于存储普通二叉树，空间浪费大。

普通二叉树只适合链式存储。

2.5.2 链式存储

链式存储结构：是指用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。

通常的方法是：每个结点由三个域组成——数据域、左右指针域。

——左右指针分别用来给出：该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。

链式结构又分为：二叉链（只能往下找）、三叉链（可以往下、上找）。

当前我们学习中一般都是二叉链，后面学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft;     // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight;    // 指向当前节点右孩子BTDataType _data;               // 当前节点数据域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent;     // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft;       // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight;      // 指向当前节点右孩子BTDataType _data;                 // 当前节点数据域
}；

总结