笛卡尔坐标
本章主题：笛卡尔坐标系
在本主题中，我们将讨论笛卡尔坐标系，这是一种在二维空间中绘制点的方法。你可能在学校里学过，称为 x–y 平面，所以本节内容更像是一次回顾。
平面上的笛卡尔坐标
笛卡尔坐标系是最常见的坐标系统，它基于正交轴的概念，也就是说你可以沿着一个轴移动，而不会影响在另一个轴上的位置。例如在地图上，南北方向的轴与东西方向的轴是正交的。
在平面上，笛卡尔坐标系由一个点 O（原点）组成，它的坐标是 (0, 0)，还有两条正交的轴，分别是 x 轴 和 y 轴。这两条轴在原点 O 处相交，形成直角，并将平面划分为四个对称的部分。
平面上的每个点都是相对于这两条轴来定义的，因此它都有两个坐标：x 坐标 和 y 坐标。这两个坐标都是实数。按照约定，我们将它们写作 (x, y)，例如下面绿色的点坐标是 x = 2，y = 3，因此它表示为 (2, 3)。
这张图展示了每个点可以看作是一个 x 坐标（水平虚线）加上一个 y 坐标（垂直虚线）——包括原点 O，在这个点上这两条线的长度都是 0。
象限（Quadrants）
如前所述，这两条坐标轴把无限的平面分成了四个部分，这些部分被称为第 I 到第 IV 象限，按如下顺序排列：
I | II
------------
IV | III
处于同一象限的点，其 x 坐标 和 y 坐标 的正负号是相同的。
由于 x 轴 上所有点的 y 坐标 都为 0，y 轴 上所有点的 x 坐标 都为 0，因此它们不属于任何一个象限。
如果你忘记了象限的顺序，可以从第一象限（右上角）开始，逆时针画一个大写的 C，按此顺序记住 I → II → III → IV。如果你忘了第一象限在哪，或者忘了字母 C 的形状，那就无能为力了（笑）。
象限可以帮助我们大致描述 x–y 平面。例如，直线 y = x 通过第一象限和第三象限的点，但不经过第二和第四象限（因为那里的 x 和 y 的符号相反）。抛物线 y = x² 从第二象限开始（负 x，正 y），经过原点，然后上升进入第一象限。
我们再看一下这些点，并将它们归类到各自的象限中：
-
绿色点 (2, 3) 位于第一象限
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红色点 (−3, 1) 位于第二象限
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蓝色点 (−1.5, −2.5) 位于第三象限
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原点不属于任何象限
距离计算
当我们在平面上有两个点时，通常会想知道它们之间的距离。例如我们之前提到的红色点，(−3, 1) 到原点的距离是多少？
如果你画一条蓝线连接点 (0, 0) 和 (−3, 1)，你会发现这条线将红色矩形分成了两个直角三角形。
这条蓝线的长度就是该点与原点之间的距离。如何求这段线的长度？我们可以使用毕达哥拉斯定理（勾股定理）来求。因为这个点的坐标是 (−3, 1)，所以对应的三角形的水平边长为 3，垂直边长为 1。根据定理，这条斜边的长度为：
√(3² + 1²) = √10
当你要比较任意两个点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 时，可以构建类似的三角形，其边长为：
-
水平边长：|x₁ − x₂|
-
垂直边长：|y₁ − y₂|
所以通用的距离公式为：
d = √[(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²]
这个公式其实就是毕达哥拉斯定理的应用！
三维及更高维空间中的笛卡尔坐标
为什么要停在 x 和 y 上？如果我们再添加一个与 x 和 y 都正交的轴 z，那么我们就得到了一个三维空间。在三维空间中，一个点的坐标由三个数表示。
事实上，笛卡尔坐标系可以推广到任何 n 维空间，其中 n 是一个正整数。尽管高维空间难以可视化，但其本质是：在一个 n 维空间中，有 n 条彼此正交的轴，每个点都有 n 个坐标。
比如在一个城市数据库中，我们可以记录城市的纬度、经度、年平均气温和人口。这样，每个城市就可以表示为一个四维空间中的点 (x, y, z, w)。
总结
笛卡尔坐标系是描述平面上点的标准方式，因此理解它的工作原理非常重要。每个点都有唯一的一对坐标，所以判断两个点是否相同非常简单。
笛卡尔坐标系非常适合用来描述直线和直角，但不太适合描述圆或螺旋这样的图形。