CSP-J 2022_第三题逻辑表达式

题目

逻辑表达式是计算机科学中的重要概念和工具，包含逻辑值、逻辑运算、逻辑运算优先级等内容。
在一个逻辑表达式中，元素的值只有两种可能：0（表示假）和 1（表示真）。元素之间有多种可能的逻辑运算，本题中只需考虑如下两种：“与”（符号为 &）和“或”（符号为 |）。其运算规则如下：
0&0=0&1=1&0=0，1&1=1；
0∣0=0，0∣1=1∣0=1∣1=1。
在一个逻辑表达式中还可能有括号。规定在运算时，括号内的部分先运算；两种运算并列时，& 运算优先于 | 运算；同种运算并列时，从左向右运算。
比如，表达式 0|1&0 的运算顺序等同于 0|(1&0)；表达式 0&1&0|1 的运算顺序等同于 ((0&1)&0)|1。
此外，在 C++ 等语言的有些编译器中，对逻辑表达式的计算会采用一种“短路”的策略：在形如 a&b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 a=0，那么整个逻辑表达式的值就一定为 0，故无需再计算 b 部分的值；同理，在形如 a|b 的逻辑表达式中，会先计算 a 部分的值，如果 a=1，那么整个逻辑表达式的值就一定为 1，无需再计算 b 部分的值。
现在给你一个逻辑表达式，你需要计算出它的值，并且统计出在计算过程中，两种类型的“短路”各出现了多少次。需要注意的是，如果某处“短路”包含在更外层被“短路”的部分内则不被统计，如表达式 1|(0&1) 中，尽管 0&1 是一处“短路”，但由于外层的 1|(0&1) 本身就是一处“短路”，无需再计算 0&1 部分的值，因此不应当把这里的 0&1 计入一处“短路”。

输入格式
输入共一行，一个非空字符串 s 表示待计算的逻辑表达式。

输出格式
输出共两行，第一行输出一个字符 0 或 1，表示这个逻辑表达式的值；第二行输出两个非负整数，分别表示计算上述逻辑表达式的过程中，形如 a&b 和 a|b 的“短路”各出现了多少次。

输入输出样例
输入 #1
0&(1|0)|(1|1|1&0)
输出 #1
1
1 2
输入 #2
(0|1&0|1|1|(1|1))&(0&1&(1|0)|0|1|0)&0
输出 #2
0
2 3
说明/提示
【样例解释 #1】
该逻辑表达式的计算过程如下，每一行的注释表示上一行计算的过程：

0&(1|0)|(1|1|1&0)
=(0&(1|0))|((1|1)|(1&0)) //用括号标明计算顺序
=0|((1|1)|(1&0)) //先计算最左侧的 &，是一次形如 a&b 的“短路”
=0|(1|(1&0)) //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=0|1 //再计算中间的 |，是一次形如 a|b 的“短路”
=1
【数据范围】

设 ∣s∣ 为字符串 s 的长度。

对于所有数据，1≤∣s∣≤10
6
。保证 s 中仅含有字符 0、1、&、|、(、) 且是一个符合规范的逻辑表达式。保证输入字符串的开头、中间和结尾均无额外的空格。保证 s 中没有重复的括号嵌套（即没有形如 ((a)) 形式的子串，其中 a 是符合规范的逻辑表达式）。

其中：
特殊性质 1 为：保证 s 中没有字符 &。
特殊性质 2 为：保证 s 中没有字符 |。
特殊性质 3 为：保证 s 中没有字符 ( 和 )。

【提示】

以下给出一个“符合规范的逻辑表达式”的形式化定义：

字符串 0 和 1 是符合规范的；
如果字符串 s 是符合规范的，且 s 不是形如 (t) 的字符串（其中 t 是符合规范的），那么字符串 (s) 也是符合规范的；
如果字符串 a 和 b 均是符合规范的，那么字符串 a&b、a|b 均是符合规范的；
所有符合规范的逻辑表达式均可由以上方法生成。

代码

#include <bits/stdc++.h>//万能头文件，包含c++标准库中常用头文件 
using namespace std;//使用std命名空间，使用标准库中类型、函数时无需std::前缀 
int n_yu,n_huo; //与和或运算短路次数 
struct node{//二叉树节点类型 char x;//操作符号'&'、'|'、'('、')' 、'0'、'1' bool k;//各逻辑运算结果 node *fa, *left, *right;//指向父、左、右节点的指针 node() : x('*'),fa(nullptr), left(nullptr), right(nullptr) {}//默认构造函数，初始化节点 node(char cx){//带参构造函数，根据字符初始化节点 x=cx,fa=nullptr, left=nullptr, right=nullptr;if(cx=='1'||cx=='0')k=cx-'0';}
};
class Tree{public:node *root,*current;    // 根节点指针,当前操作节点指针(构建树时用)// 构造函数：初始化根节点和当前节点Tree(){//构造函数，构造根节点为'r'（不变）,当前节点指向根 root=new node('r'), current=root;}~Tree() {// 析构函数：递归释放整个语法树节点内存clear(root);root = current = nullptr;}void insert(char x) {//根据字符类型，插入并构建语法树     node* newNode = new node(x);// 创建新节点if(x=='0'||x=='1'||x=='('){//操作数和左括号 newNode->fa = current;//成为当前节点的子节点 if(!current->left)current->left = newNode;//当前节点左子节点空，就挂到左节点 else if(!current->right)current->right = newNode;//否则挂右节点 }else if(x==')'){//右括号时要归拢，调整当前位置回到左括号处 current=current->fa;//下句无法越过当前的左括号，添加该句主动升一层 while(current->x!='(')current=current->fa;//循环一直找到左括号位置 newNode->fa=current;current->right=newNode;//左括号节点的右节点是右括号 newNode=newNode->fa;//左括号调整为当前节点位置 }else if(x=='|'){//优先级在|和&下，当前位置升到紧邻左括号或者根前 while(current->fa->x!='('&&current->fa!=root)current=current->fa;current->fa->left=newNode;newNode->fa=current->fa;//|变成当前节点父节点的左子， current->fa=newNode;newNode->left=current;//当前节点变成|的左子 }else if(x=='&'){//如果父节点是|，则&优先级高，要下潜。否则遇到&就得上浮 if(current->fa->x=='|'){current->fa->right=newNode;newNode->fa=current->fa;//当前节点的父节点变成&的父节点， current->fa=newNode;newNode->left=current;//当前节点变成&节点的左节点 }else{while(current->fa->x=='&')current=current->fa;//父是&就得上浮，得父不是&得节点为当前节点 if(current->fa->left==current)current->fa->left=newNode;//当前节点是父节点的左子，挂父节点的左树 else current->fa->right=newNode;//挂父节点的右树 newNode->fa=current->fa;current->fa=newNode;newNode->left=current;//当前节点(&)挂插入节点的左树 }}current=newNode;//插入的节点变成当前节点(括号选左括号) }void clear(node* x) {// 递归清除节点及其子节点if (!x) return;clear(x->left);clear(x->right);delete x;}void view1(node *x){cout<<x->x;if(x->left)view1(x->left);if(x->right)view1(x->right);}void view3(node *x){if(x->left)view3(x->left);cout<<x->x;if(x->right)view3(x->right);}void view2(node *x){cout<<x->x<<"["<<x->k<<"] ";if(x->left)view2(x->left);if(x->right)view2(x->right);}bool run(node *n){bool k1,k2; //左右树运算结果 if(n->x=='r')return n->k=run(n->left);//根和左括号处结果仅源自左树 if(n->x=='(')return n->k=run(n->left);//右括号不影响结果 if(n->x=='0'||n->x=='1')return n->k;//运算数 if(n->x=='&'){//与运算 k1=run(n->left);//先算左树 if(k1==0){//如果左树是0，直接返回0，不用算右树 n_yu++;return n->k=0;}k2=run(n->right);return n->k=k1&&k2;}if(n->x=='|'){//或运算 k1=run(n->left);if(k1==1){//如果左树是1，直接返回1，不用算右树 n_huo++;return n->k=1;}k2=run(n->right);return n->k=k1||k2;}}
}tree;
int main(){//freopen("expr.in","r",stdin);string s;cin>>s;for(int i=0;s[i];i++){tree.insert(s[i]); //cout<<i<<" "<<s[i]<<"先序";tree.view1(tree.root);cout<<endl;}//cout<<"先序";tree.view1(tree.root);cout<<endl;//cout<<"中序";tree.view3(tree.root);cout<<endl;cout<<tree.run(tree.root)<<endl;cout<<n_yu<<" "<<n_huo<<endl;//cout<<"先序";tree.view2(tree.root);cout<<endl;return 0;
}

思路

1.构建二叉树，n个字符n次操作，)、|和&需要上溯，最差情况是从当前节点回溯到根节点(n次),所以时间复杂度是o(n^2),这里n=10 ^6，结果是10 ^12，大于1秒的大约次数10 ^8次。有可能会超时——还好没有。
遍历逻辑表达式，每个字符建立一个指针空间节点
将所有节点连接成二叉树
经过一些样例数据的实操，得到逻辑关系
root
开始就有，用r标记，位置不变。后继只有左没有右
0、1、(
添(节点，或左或右
)
上溯，找到(节点,成为(节点的右节点，父(成当前节点。
先回溯一次,避免连续右括号时停留在当前(节点
|
添节点
上溯，直到父是根r或(,当前节点变成自己的左节点，自己成父的右节点
&
添节点
父是|，则当前节点(0、1)成为自己的左节点，自己成父(|)的右节点
父是&，则上溯直到父是|或者根或(，当前节点成左节点，自己成父的右节点
2.递归计算。run函数，，先左右再根，后序遍历，至多每个节点算一次O(n)。
return k=run(left)&&run(right);感觉只算左(不知道原因)
须要分别计算
k1=run(left)
k2=run(right)
&运算，左是0是短路。|运算左是1是短路。(当然另一边也存在这种情况，但是本题说了只是左)
有10^6个节点

作图验证

小结

冬麦需要9个月，夏玉米需要4个月。万事万物的生长成熟都需要足够的时间！