当前位置：首页 > news >正文

n-皇后问题（DFS）

news 2025/7/23 18:49:25

n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q...Q.
Q...
...Q
.Q..

这题的难度就在于对于斜边的判定处理，解释放在代码里，这里直接给出代码

代码如下：

1.第一种方式（在看懂题意下可以知道每行只能放一个皇后，这样写代码更简单时间复杂度，推荐）

//第一种搜索方式
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20;
int n;
char g[N][N];
//由于国际象棋皇后的十字方向以及斜方向都能走，因此每行只能放一个皇后，定义一个行数组xiaochou，正斜线xie，反斜线fxie
bool xiaochou[N],xie[N],fxie[N];void dfs(int u)//u表示遍历到数组第u行
{if(u==n)//当遍历到第n-1行时已经进行完成，等于n直接输出{for(int i=0;i<u;i++) puts(g[i]);puts("");return;}for(int i=0;i<n;i++){if(!xiaochou[i]&&!xie[u+i]&&!fxie[n-u+i])//这里运用到一个数学知识，正对角线该点为u+i，其交叉对于的反对角线为n-u+i{g[u][i]='Q';xiaochou[i]=xie[u+i]=fxie[n-u+i]=true;dfs(u+1);xiaochou[i]=xie[u+i]=fxie[n-u+i]=false;//记得回溯g[u][i]='.';}}
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++) g[i][j]='.';}dfs(0);return 0;
}

2.第二种方式（一个格子一个格子去枚举判断，比较容易理解，但时间复杂度要大一点）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20;
int n;
char g[N][N];
//由于国际象棋皇后的十字方向以及斜方向都能走，第二种方法就是把每个格子都枚举一遍
//设置row行数组，col列数组以及两个对角线数组，来判断皇后能不能放
bool row[N],col[N],xie[N],fxie[N];void dfs(int x,int y,int s)//x和y分别表示枚举该数组到啥位置的行列坐标，s表示已经放了几个皇后
{if(y==n) y=0,x++;//每行列举完最后一列的时候，跳到下一行的第一列if(x==n){if(s==n){for(int i=0;i<n;i++) puts(g[i]);puts("");}return;}//不放皇后dfs(x,y+1,s);//放皇后if(!row[x]&&!col[y]&&!xie[x+y]&&!fxie[x-y+n]){g[x][y]='Q';row[x]=col[y]=xie[x+y]=fxie[x-y+n]=true;dfs(x,y+1,s+1);row[x]=col[y]=xie[x+y]=fxie[x-y+n]=false;g[x][y]='.';}
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++) g[i][j]='.';}dfs(0,0,0);return 0;
}

难点总结：

这题需要补充的知识点就是关于对角线如何处理的问题，这里设置正对角线数组和反对角线数组来处理，正对角线为蓝色下标从左上角开始，反对角线为绿色下标从右上角开始，这里因为只要对角线中有一个皇后剩下的都不能放，所以可以看成一个bool类型的一维数组，而难处也在于bool数组的下标应该如何设置，