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【线性基】 P3857 [TJOI2008] 彩灯|省选-

news 2025/8/12 7:54:58

本文涉及知识点

位运算、状态压缩、枚举子集汇总线性基

P3857 [TJOI2008] 彩灯

题目描述

Peter 女朋友的生日快到了，他亲自设计了一组彩灯，想给女朋友一个惊喜。已知一组彩灯是由一排 $N$ 个独立的灯泡构成的，并且有 $M$ 个开关控制它们。从数学的角度看，这一排彩灯的任何一个彩灯只有亮与不亮两个状态，所以共有 $2^N$ 个样式。由于技术上的问题，Peter 设计的每个开关控制的彩灯没有什么规律，当一个开关被按下的时候，它会把所有它控制的彩灯改变状态（即亮变成不亮，不亮变成亮）。假如告诉你他设计的每个开关所控制的彩灯范围，你能否帮他计算出这些彩灯有多少种样式可以展示给他的女朋友？

注：开始时所有彩灯都是不亮的状态。

输入格式

每组测试数据第一行为两个整数 $N$ 和 $M$ ，用空格隔开。紧接着是有 $M$ 行，每行都是一个长度为 $N$ 的字符串，表示一个开关控制彩灯的范围（ $N$ 盏灯），如果第 $i$ 个字母是大写字母 O，则表示这个开关控制第 $i$ 盏灯，如果第 $i$ 个字母是大写字母 X，则表示这个开关不控制此灯。

输出格式

输出这些开关和彩灯可以变换出来的样式数目。由于这个值可能会很大，请求出它对于整数 $2008$ 的余数。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 3
OO
XO
OX

输出 #1

说明/提示

可见样例中第一个开关控制了所有的彩灯，而后两个开关分别控制了第一个和第二个彩灯，这样我们可以只用后两个开关控制彩灯，可以变换出来所有的 $2^2$ 个状态。

对于 $30%30\%$ 的数据， $N$ 和 $M$ 不超过 $15$ 。

另外有 $40%40\%$ 的数据， $N$ 和 $M$ 有一个为 $50$ 。

对于 $100%100\%$ 的数据， $N$ 和 $M$ 不超过 $50$ 。

线性基

每种状态用一个N位二进制表示。所以可能状态就是操作的异或和。无论M多大，利用线性基，最多N个数，可以表示所有的异或可能。
令从m_bit[0…i]种选择任意数的方案数位为f(i)。如果m_bit[i+1]不存在， $f (i + 1) == f (i)$ ；如果m_bit[i+1]存在，则 $f(i+1)==f(i)×2f(i+1)==f(i)\times 2$ f(i+1)的新状态为f(i)的任意状态和m_bit[i+1]异或。
故答案是线性基中 $2^{m_bit存在的元素数量}$

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<class T = long long, int BITCNT = 63 >
class CLinearBasis {
public:CLinearBasis() :m_bit(BITCNT, -1) {	}void Addd(T x) {for (int i = BITCNT - 1; i >= 0; i--) {if (((T)1 << i) & x) {if (-1 == m_bit[i]) {m_bit[i] = x;return;}else {x ^= m_bit[i];}}}};T Max() {T ret = 0;for (int i = BITCNT - 1; i >= 0; i--) {if (-1 == m_bit[i]) { continue; }if (((T)1 << i) & ret) { continue; }ret ^= m_bit[i];}return ret;}bool Can(T x) const {for (int i = BITCNT - 1; i >= 0; i--) {if (((T)1 << i) & x) {if (-1 == m_bit[i]) { return false; }x ^= m_bit[i];}}return true;};vector<T>& Bits() { return m_bit; }
protected:vector<T> m_bit;
};class Solution {
public:int Ans(vector<string>& strs) {CLinearBasis<> lb;for (const auto& s : strs) {long long cur = 0;for (const auto& ch : s) {cur = cur * 2 + ('O' == ch);}lb.Addd(cur);}int cnt = 0;for (const auto& i : lb.Bits()) {cnt += (-1 != i);}return (1LL << cnt) % 2008;};
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUGios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);		int N, M;cin >> N >> M;auto strs = Read<string>(M);
#ifdef _DEBUG//printf("N=%d", N);Out(strs, ",strs=");//Out(B, ",B=");//Out(ope, ",ope=");
#endif // DEBUGauto res = Solution().Ans(strs);cout << res << "\n";return 0;
}

单元测试

vector<string> strs;TEST_METHOD(TestMethod1){strs = { "OO","XO","OX" };auto res = Solution().Ans(strs);AssertEx(4, res);}

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