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【高等数学】第五章定积分——第三节定积分的换元法和分部积分法

news 2025/7/27 12:05:00

上一节：【高等数学】第五章定积分——第二节微积分基本公式
总目录：【高等数学】目录

文章目录

1. 定积分的换元法
2. 定积分的分部积分法

1. 定积分的换元法

定积分的换元法
假设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $x=φ(t)x=\varphi(t)$ 满足条件：
(1) $φ(α)=a\varphi(\alpha)=a$ ， $φ(β)=b\varphi(\beta)=b$ ；
(2) $φ(t)\varphi(t)$ 在 $[α,β][\alpha,\beta]$ （或 $[β,α][\beta,\alpha]$ ）上具有连续导数
则有定积分的换元公式
$∫abf(x)dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt.\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f\left[ \varphi(t) \right] \varphi^\prime(t) \mathrm{d}t.$

设 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的一个原函数
$∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x =F(b)-F(a)$
记 $Φ(t)=F[φ(t)]\varPhi(t)=F[\varphi(t)]$ ， $Φ′(t)=f[φ(t)]φ′(t)\varPhi'(t)=f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ ， $Φ(t)\varPhi(t)$ 是 $f[φ(t)]φ′(t)f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ 的一个原函数
$∫αβf[φ(t)]φ′(t)dt=F[φ(β)]−F[φ(α)]=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f\left[ \varphi(t) \right] \varphi^\prime(t) \mathrm{d}t=F[\varphi(\beta)]-F[\varphi(\alpha)]=F(b)-F(a)$
注意事项
- 用 $\varphi(t)$ 把原来变量 $x$ 代换成新变量 $t$ 时，积分限也要换成相应于新变量 $t$ 的积分限
- 求出 $f[φ(t)]φ′(t)f\left[ \varphi(t) \right] \varphi^\prime(t)$ 的一个原函数 $Φ(t)\Phi(t)$ 后，不必像计算不定积分那样再要把 $Φ(t)\Phi(t)$ 回代成原来变量 $x$ 的函数，而只要把新变量 $t$ 的上、下限分别代入 $Φ(t)\Phi(t)$ 中然后相减就行了.
- 如果采用凑微分的方式求定积分，积分限就不必变更
对称区间上定积分的奇偶性
- 若 $f (x)$ 在 $[- a, a]$ 上连续且为偶函数，则 $∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 2\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x$
  
  $∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx.\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d}x + \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x.$
  令 $t = - x$ ，则 $∫−a0f(x)dx=∫0af(−t)dt=∫0af(t)dt=∫0af(x)dx\displaystyle\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d}x=\int_{0}^{a} f(-t) \mathrm{d}t=\int_{0}^{a} f(t) \mathrm{d}t=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x$
- 若 $f (x)$ 在 $[- a, a]$ 上连续且为奇函数，则 $∫−aaf(x)dx=0.\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d}x = 0.$
三角函数积分对称
设 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续
- $∫0π2f(sin⁡x)dx=∫0π2f(cos⁡x)dx\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d}x$
  
  令 $x=π2−tx=\dfrac{\pi}{2}-t$
  $∫0π2f(sin⁡x)dx=∫0π2f[sin⁡(π2−t)]dt=∫0π2f(cos⁡t)dt\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d}x =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f[\sin(\dfrac{\pi}{2}-t)]\mathrm{d}t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos t)\mathrm{d}t$
- $∫0πxf(sin⁡x)dx=π2∫0πf(sin⁡x)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d}x$
  
  令 $x=π−tx=\pi-t$
  $∫0πxf(sin⁡x)dx=∫0π(π−t)f[sin⁡(π−t)]dt=π∫0πf(sin⁡x)dx−∫0πxf(sin⁡x)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d}x =\int_{0}^{\pi}(\pi-t)f[\sin(\pi-t)]\mathrm{d}t=\pi\int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d}x-\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) \mathrm{d}x$
周期函数的定积分性质
- $∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{a + T} f(x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d}x$
  
  记 $Φ(a)=∫aa+Tf(x)dx\varPhi(a)=\displaystyle\int_{a}^{a + T} f(x) \mathrm{d}x$
  $Φ′(a)=f(a+T)−f(a)=0,Φ(a)=Φ(0)\varPhi'(a)=f(a+T)-f(a)=0,\varPhi(a)=\varPhi(0)$
- $∫aa+nTf(x)dx=n∫0Tf(x)dx(n∈N)\displaystyle\int_{a}^{a + nT} f(x) \mathrm{d}x = n \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d}x \quad (n \in \mathbf{N})$