高等数学 8.6 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程

我们已经知道空间曲线可以看做两个曲面的交线。设

$$F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0$$

是两个曲面的方程，则方程组

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(6-1)}$$

就是这两个曲面的交线 $C$ 的方程，方程组 $(6-1)$ 也叫做 空间曲线 $C$ 的一般方程 。

二、空间曲线的参数方程

空间曲线 $C$ 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将 $C$ 上动点的坐标 $x,y$ 和 $z$ 表示为参数 $t$ 的函数

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t).\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(6-2)}$$

当给定 $t=t_1$ 时，就得到曲线 $C$ 上的一个点 $(x_1,y_1,z_1)$ ；随着 $t$ 的变动便可得曲线 $C$ 上的全部点。方程组 $(6-2)$ 叫做 空间曲线的参数方程 。

*曲面的参数方程

介绍一下曲面的参数方程。曲面的参数方程通常是含两个参数的方程，形如

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=x(s,t),\\ y=y(s,t),\\ z=z(s,t).\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(6-3)}$$

例如空间曲线 $\Gamma$

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\\ z=\omega (t).\end{array}(\alpha ⩽t⩽\beta )\end{array}$$

绕 $z$ 轴旋转，所得旋转曲面的方程为

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=\sqrt{[\phi (t){]}^2+[\psi (t){]}^2}\cos \theta ,\\ y=\sqrt{[\phi (t){]}^2+[\psi (t){]}^2}\sin \theta ,\\ z=\omega (t).\end{array}\alpha ⩽t⩽\beta ,0⩽\theta ⩽2\pi \end{array}\text{\hspace{1em}(6-4)}$$

这是因为，固定一个 $t$ ，得 $\Gamma$ 上一点 $M_1(\phi (t),\psi (t),\omega (t))$ ，点 $M_1$ 绕 $z$ 轴旋转，得空间的一个圆，该圆在平面 $z=\omega (t)$ 上，其半径为点 $M_1$ 到 $z$ 轴的距离 $\sqrt{[\phi (t){]}^2+[\psi (t){]}^2}$ ，因此，固定 $t$ 的方程 $(6-4)$ 就是该圆的参数方程。再令 $t$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 内变动，方程 $(6-4)$ 便是旋转曲面的方程。

例如直线

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=t,\\ z=2t.\end{array}\end{array}$$

绕 $z$ 轴旋转所得的旋转曲面（如图8-56）的方程为

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=\sqrt{1+t^2}\cos \theta ,\\ y=\sqrt{1+t^2}\sin \theta ,\\ z=2t.\end{array}\end{array}$$

$\left(上式消去t和\theta ，得曲面的直角坐标方程为x^2+y^2=1+\frac{z^2}{4}\right)$ 。

又如球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 可以看成 $zOx$ 面上的半圆周

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=a\sin \phi ,\\ y=0,\\ z=a\cos \phi ,\end{array}0⩽\phi ⩽\pi \end{array}$$

绕 $z$ 轴旋转所得（图8-57），故球面方程为

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}x=a\sin \phi \cos \theta ,\\ y=a\sin \phi \sin \theta ,\\ z=a\cos \phi ,\end{array}0⩽\phi ⩽\pi ,0⩽\theta ⩽2\pi .\end{array}$$

三、空间曲线在坐标平面上的投影

设空间曲线 $C$ 的一般方程为 $(6-1)$ ，现在来研究由方程组 $(6-1)$ 消去变量 $z$ 后（如果可能的话）所得的方程

$$H(x,y)=0\text{\hspace{1em}(6-5)}$$

由于方程 $(6-5)$ 是由方程组 $(6-1)$ 消去 $z$ 后所得的结果，因此当 $x,y$ 和 $z$ 满足方程组 $(6-1)$ 时，前两个坐标 $x,y$ 必定满足方程 $(6-5)$ ，这说明曲线 $C$ 上的所有点都在由方程 $(6-5)$ 所表示的曲线上。

方程 $(6-5)$ 表示一个母线平行于 $z$ 轴的柱面。由上面的讨论可知，这柱面必定包含曲线 $C$ 。以曲线 $C$ 为准线、母线平行于 $z$ 轴（即垂直于 $xOy$ 面）的柱面叫做曲线 $C$ 关于 $xOy$ 面的 投影柱面 ，投影柱面与 $xOy$ 面的交线叫做空间曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的 投影曲线 ，或简称 投影 。因此，方程 $(6-5)$ 所表示的柱面必定包含投影柱面，而方程

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}H(x,y)=0,\\ z=0\end{array}\end{array}$$

所表示的曲线必定包含空间曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影。

同理，消去方程组 $(6-1)$ 中的变量 $x$ 或变量 $y$ ，再分别和 $x=0$ 或 $y=0$ 联立，我们就可得到包含曲线 $C$ 在 $yOz$ 面或 $zOx$ 面上的投影的曲线方程

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}R(y,z)=0,\\ x=0,\end{array}或\{\begin{array}{l}T(x,z)=0,\\ y=0.\end{array}\end{array}$$

原文链接：高等数学 8.6 空间曲线及其方程