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搜索 AI 搜索概率论基础教程第3章条件概率与独立性(二)

news 2025/8/17 8:21:05

3.3 独立事件

定义

在概率论中，已知事件 $F$ 发生的条件下，事件 $E$ 发生的条件概率 $P (E ∣ F)$ 通常不等于 $E$ 发生的非条件概率 $P (E)$ 。这意味着知道 $F$ 发生通常会改变 $E$ 发生的概率。但在某些特殊情况下， $P (E ∣ F)$ 确实等于 $P (E)$ ，此时我们称事件 $E$ 和 $F$ 是独立的。

由于 $\frac{P(EF)}{P(F)}$ ，当且仅当
$\tag{4.1}$
时， $E$ 和 $F$ 独立。因为公式(4.1)关于 $E$ 和 $F$ 是对称的，所以如果 $E$ 和 $F$ 独立，则 $F$ 和 $E$ 也独立。

定义：对于两个事件 $E$ 和 $F$ ，若公式(4.1)成立，则称它们是独立的(independent)。若两个事件 $E$ 和 $F$ 不独立，则称它们是相依的(dependent)，或相互不独立。

例 4a：从一副洗好的 52 张扑克牌里随机抽取一张牌。令 $E$ 表示"抽取的牌为一张 A"，令 $F$ 表示"抽取的牌为一张黑桃"。则：

$\frac{1}{52}$
$\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

由于 $\frac{1}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{52} = P(EF)$ ，因此 $E$ 和 $F$ 是独立的。

例 4b：掷两枚硬币，假设全部 4 个结果出现的可能性相同。令 $E$ 表示"第一枚硬币正面朝上"，令 $F$ 表示"第二枚硬币反面朝上"。则：

$P(\{(H,T)\}) = \frac{1}{4}$
$P(\{(H,H),(H,T)\}) = \frac{1}{2}$
$P(\{(H,T),(T,T)\}) = \frac{1}{2}$

由于 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(EF)$ ，因此 $E$ 和 $F$ 是独立的。

例 4c：掷两枚均匀的骰子，令 $E_1$ 表示"骰子点数之和为 6"，令 $F$ 表示"第一枚骰子点数为 4"。则：

$P(E1F)=P({(4,2)})=136P(E_1F) = P(\{(4,2)\}) = \frac{1}{36}$
$P(E1)P(F)=536×16=5216P(E_1)P(F) = \frac{5}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$

由于 $136≠5216\frac{1}{36} \neq \frac{5}{216}$ ，因此 $E_1$ 和 $F$ 不独立。

现在，令 $E_2$ 表示"骰子点数之和为 7"，则：

$P(E2F)=P({(4,3)})=136P(E_2F) = P(\{(4,3)\}) = \frac{1}{36}$
$P(E2)P(F)=16×16=136P(E_2)P(F) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

由于 $P(E_2F) = P(E_2)P(F)$ ，因此 $E_2$ 和 $F$ 是独立的。

例 4d：如果令 $E$ 表示"下届总统是共和党人"，令 $F$ 表示"未来一年将会有一次大地震"，那么大多数人会认为 $E$ 和 $F$ 是独立的。然而，如果另一个事件 $G$ 是"选举之后两年内会经历经济衰退"，那么对于 $E$ 和 $G$ 是否独立，却存在着长期争论。

性质

命题 4.1：如果 $E$ 和 $F$ 独立，那么 $E$ 和 $F^c$ 也独立。

证明：假设 $E$ 和 $F$ 独立。由于 $\cup EF^c$ ，且 $EF$ 和 $EF^c$ 互不相容，所以有
$P(E) = P(EF) + P(EF^c) = P(E)P(F) + P(EF^c)$
或者等价地
$P(EF^c) = P(E)[1 - P(F)] = P(E)P(F^c)$
命题得证。

因此，如果 $E$ 和 $F$ 是独立的，那么无论得知 $F$ 发生的信息，还是得知 $F$ 不发生的信息， $E$ 发生的概率都是不变的。

多个事件的独立性

三个事件 $E$ 、 $F$ 和 $G$ 称为独立的，如果满足以下条件：

$P (EFG) = P (E) P (F) P (G)$
$P (EF) = P (E) P (F)$
$P (EG) = P (E) P (G)$
$P (FG) = P (F) P (G)$

注意，如果 $E$ 、 $F$ 和 $G$ 是独立的，那么 $E$ 与 $\cup G$ 也是独立的，因为：
$\begin{aligned} P[E(F \cup G)] &= P(EF \cup EG) = P(EF) + P(EG) - P(EFG) \\ &= P(E)P(F) + P(E)P(G) - P(E)P(F)P(G) \\ &= P(E)[P(F) + P(G) - P(F)P(G)] = P(E)P(F \cup G) \end{aligned}$

一般地，事件 $E1,E2,…,EnE_1, E_2, \ldots, E_n$ 称为独立的，如果对这些事件的任意子集 $Ei1,Ei2,…,EirE_{i_1}, E_{i_2}, \ldots, E_{i_r}$ ( $\leq n$ )，都有
$P(E_{i_1}E_{i_2}\cdots E_{i_r}) = P(E_{i_1})P(E_{i_2})\cdots P(E_{i_r})$

对于无限个事件，如果任意有限个子集都是独立的，则称这无限个事件是独立的。

独立子试验

有时会遇到这种情况：所考虑的概率试验由一系列子试验组成。例如，连续抛掷一枚硬币这个试验，可以把每掷一次看作一个子试验。在许多场合下，假设任一组子试验的结果不影响其他子试验的结果是合理的。如果真是这样，我们称这些子试验是独立的。更确切地说，如果任意的事件序列 $E1,E2,…,En,…E_1, E_2, \ldots, E_n, \ldots$ 是独立的，则称这一系列子试验是独立的，这里事件 $E_i$ 完全由第 $i$ 次子试验的结果所决定。

如果各个子试验彼此相同，即各子试验有相同的(子)样本空间及相同的事件概率函数，那么就称这些试验为重复试验。

例 4f：进行一个独立的无穷序列的重复试验，每次试验成功的概率为 $p$ ，失败的概率为 $1 - p$ ，试求：

(a) 前 $n$ 次试验中至少成功 1 次的概率
(b) 前 $n$ 次试验中恰好成功 $k$ 次的概率
© 所有试验结果都成功的概率

解：

(a) 考虑对立事件"前 $n$ 次试验全失败"，其概率为 $1-p)^n$ ，因此前 $n$ 次试验中至少成功 1 次的概率为 $1-(1-p)^n$ 。
(b) 任一个由 $k$ 个成功、 $n - k$ 个失败组成的特定序列的概率为 $p^k(1-p)^{n-k}$ 。共有 $(nk)\binom{n}{k}$ 个这样的序列，因此所求概率为 $(nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 。
© 前 $n$ 次试验全成功的概率为 $p^n$ 。由概率的连续性属性，所有试验结果都成功的概率为
$P\left(\bigcap_{i=1}^{\infty} E_i^c\right) = \lim_{n\to\infty} P\left(\bigcap_{i=1}^{n} E_i^c\right) = \lim_{n\to\infty} p^n = \begin{cases} 0 & \text{if } p \neq 1 \\ 1 & \text{if } p = 1 \end{cases}$

例 4g：由 $n$ 个元件组成的系统称为并联的，如果至少有一个元件工作正常，那么整个系统都工作正常。如果元件 $i$ 工作正常的概率为 $p_i$ ( $i=1,…,ni=1,\ldots,n$ )，且各元件的工作状态相互独立，那么整个系统工作正常的概率是多大？

解：令 $A_i$ 表示"元件 $i$ 工作正常"，则系统工作正常的概率为
$\begin{aligned} P(\text{系统正常}) &= 1 - P(\text{所有元件工作不正常}) \\ &= 1 - P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i^c\right) \\ &= 1 - \prod_{i=1}^n (1 - p_i) \end{aligned}$

例 4h：进行独立重复试验，每次试验为掷两枚均匀的骰子，每次试验的结果是两枚骰子点数之和，那么"和为 5"出现在"和为 7"之前的概率是多少？

解：令 $E_n$ 表示"前 $n - 1$ 次试验中，结果 5 和 7 都不出现，而第 $n$ 次试验出现 5"，则所求概率为
$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(E_n)$
由于 $5)=436P(\text{和为 } 5) = \frac{4}{36}$ ， $7)=636P(\text{和为 } 7) = \frac{6}{36}$ ，利用试验的独立性可得
$P(E_n) = \left(1 - \frac{10}{36}\right)^{n-1} \times \frac{4}{36}$
因此
$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \frac{1}{9} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{13}{18}\right)^{n-1} = \frac{1}{9} \times \frac{1}{1-13/18} = \frac{2}{5}$

该结果也可以利用条件概率得到。令 $E$ 表示"和为 5 出现在和为 7 之前"，令 $F$ 表示"第一次试验中骰子的点数之和为 5"， $G$ 表示"第一次试验中骰子的点数之和为 7"， $H$ 表示"第一次试验中骰子的点数之和既不是 5 也不是 7"。利用全概率公式：
$P (E) = P (E ∣ F) P (F) + P (E ∣ G) P (G) + P (E ∣ H) P (H)$
其中 $P (E ∣ F) = 1$ ， $P (E ∣ G) = 0$ ， $P (E ∣ H) = P (E)$ 。代入 $\frac{4}{36}$ ， $\frac{6}{36}$ ， $\frac{26}{36}$ ，得
$\frac{4}{36} + P(E) \frac{26}{36} \implies P(E) = \frac{2}{5}$

例 4i：点数问题。假设在独立重复试验中，每次成功的概率为 $p$ ，失败的概率为 $1 - p$ 。在 $m$ 次失败之前已有 $n$ 次成功的概率是多大？设想 A 和 B 进行这样的赌博：当试验成功时，A 得 1 分，试验失败时，B 得 1 分。如果 A 先得到 $n$ 分，那么 A 获胜；如果 B 先得到 $m$ 分，那么 B 获胜。所求概率就是 A 获胜的概率。

解：令 $P_{n,m}$ 表示在 $m$ 次失败之前已经出现了 $n$ 次成功。以第一次的结果为条件：
$P_{n,m} = pP_{n-1,m} + (1-p)P_{n,m-1}, \quad n \geq 1, m \geq 1$
边界条件为 $P_{n,0} = 0$ ， $P_{0,m} = 1$ 。

费马的解答：要使得 $n$ 次成功出现在 $m$ 次失败之前，那么在前 $m + n - 1$ 次试验中，至少有 $n$ 次成功。因此，所求概率为
$P_{n,m} = \sum_{k=n}^{m+n-1} \binom{m+n-1}{k} p^k (1-p)^{m+n-1-k}$

例 4j：考虑一个要在两个选手 A 和 B 之间发球和接球的游戏，比如排球、羽毛球或壁球。这个比赛是由有顺序的接球组成，而每个接球由一个选手发球开始，然后持续到一个选手赢。赢得一球的人得一分，当两人中有一人赢得 $n$ 分时，比赛结束。假设 A 开始发球，A 赢球的概率为 $p_A$ ，B 赢球的概率为 $q_A = 1-p_A$ 。当 B 先发球时，A 赢球的概率为 $p_B$ ，B 赢球的概率为 $q_B = 1-p_B$ 。同时存在两种可能的协议：一个为得分发球（上一个球得分的人将发下一次球）；一个为交替发球（两个人交替发球）。如果你是 A，你会选择哪个协议？