洛谷 P2842 纸币问题 1 -普及-

题目描述

某国有 $n$ 种纸币，每种纸币面额为 $a_i$ 并且有无限张，现在要凑出 $w$ 的金额，试问最少用多少张纸币可以凑出来？

输入格式

第一行两个整数 $n,w$，分别表示纸币的种数和要凑出的金额。
第二行一行 $n$ 个以空格隔开的整数 $a_1,a_2,a_3,\dots a_n$ 依次表示这 $n$ 种纸币的面额。

输出格式

一行一个整数，表示最少使用的纸币张数。

输入输出样例 #1

输入 #1

6 15
1 5 10 20 50 100

输出 #1

2

输入输出样例 #2

输入 #2

3 15
1 5 11

输出 #2

3

说明/提示

对于 $40\%$ 的数据，满足 $n\le 10$，$w\le 100$；
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10^3$，$1\le a_i,w\le 10^4$。

solution

动态规划：

• 1 定义公式：
  • 设 f[i][j]: 如果只用前 i 种纸币，最少需要多少张才能拼成 j 元。
• 2 递推关系：
  • f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - a[i]] + 1, f[i-1][j])
  • 因为 i 只影响 i + 1，所以只需要保存一个，可以省略一个维度
    递推公式 f[j] = min(f[j], f[j - a[i]] + 1)
• 3 结果
  f[w]

代码

#include<iostream>
#include "unordered_map"
#include "unordered_set"
#include "stack"
#include "queue"
#include "cstring"
#include "algorithm"using namespace std;
const int N = 1e3 + 5, INF = 1e4, M = 1e4 + 5;int a[N], n, w, f[M];int main() {cin >> n >> w;for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];for (int j = 1; j <= w; j++) {f[j] = INF;for (int i = 0; i < n; i++) {if (j >= a[i]) {f[j] = min(f[j], f[j - a[i]] + 1);}}}cout << f[w];return 0;
}

结果