【C++详解】AVL树深度剖析与模拟实现（单旋、双旋、平衡因⼦更新、平衡检测）

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一、AVL树的概念

• AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
• AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
• AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，(也可以左减右)也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。
• 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0。
• AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN，那么增删查改的效率也可以控制在 O(logN)，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

二、AVL树的实现

AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://...
private:Node* _root = nullptr;
};

结点的成员变量这一块我们不再分别定义key和value，而是用pair包起来，和map保持一致，方便后续模拟实现myset和mymap。相比以前多了一个指向parent的指针，后面的平衡旋转操作会用到。还多了一个平衡因子_bf。
至于AVL树的定义基本和之前的二叉搜索树一样。

AVL树的插⼊

AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程

1. 插入：插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
2. 更新平衡因⼦：新增结点以后，只会影响该结点祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。

更新平衡因⼦过程中没有出现不平衡，则插⼊结束。
更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

平衡因⼦更新

更新原则

• 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度。
• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
• 插⼊结点，会增加当前结点parent的子树⾼度，如果新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦–。
• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新,判断⾼度是否变化需要看下面介绍的更新停止条件。

更新停⽌条件

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，说明更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

• 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。

• 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，更新停止。

• 不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌更新。

插入结点及更新平衡因子的代码实现

插入操作和之前二叉搜索树的逻辑相同，重点是这里更新平衡因子的代码实现。 我们前面介绍过了更新平衡因子有三种可能(0, 1-1, 2-2)，但是我们在代码里最好不要就只分三种情况讨论，因为这三种情况是建立在前面代码逻辑都正常的情况下，但是代码是有可能出错的，所以我们需要在代码里再多写一个出现错误的情况，如果走到这种情况了那么程序一定出现了问题，我们可以assert或者抛异常。
更行结束标志也有三种，一种是更新到根节点，parent指向nullptr，停止更新。一种是parent平衡因子更新到0，停止更新。还有一种是parent平衡因子更新到2或者-2,不平衡了需要旋转，旋转完后因为高度复原了所以停止更新。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//单纯插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}else{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first) {parent = cur;cur = cur->_left;}else if(cur->_kv.first < _kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//更新平衡因子while (parent) //若更新到根结点，更新结束---1{if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){//更新结束---2break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//不平衡了，旋转处理//旋转完后，更新结束---3break;}else{//代码出错assert(false);}}return true;

旋转

旋转的原则

1、旋转后保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度。
3. 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。

右单旋

• 图中展⽰的是10为根的树，有a/b/c三棵抽象为⾼度h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。
• 在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10是整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后局部⼦树的高度恢复到插入之前，不会再影响上⼀层，插⼊结束。
  这里要把a打包看成一个整体，如果插入a也会引起旋转那么a旋转的步骤也和我们这里讨论的一样，所以这里我们只是讲的是一个旋转的模板，不管是a子树里面的旋转还是在10上面的树的旋转都适用。(如果10不是根节点的话)

右单旋代码实现

一、首先把parent->_left = subLR, subL->_right = parent,这两个调整孩子的步骤很简单。
二、但是我们要记住AVL树是三叉链，它的每个结点还有一个指向parent的指针，所以还需要调整subLR、parent、subL的_parent指针，调整_parent比较复杂。

• subLR->_parent = parent： 这里要注意subLR是可能为空的，所以需要判断一下，为空就无需调整subLR的_parent。
• parent->_parent = subL： 这里没有什么问题。
• subL->_parent 这里要分两种情况讨论，一种是当parent是根节点，那么需要把_root给给subL,subL->_parent = nullptr。一种是parent不是根节点，那么parent只是其中一颗子树的根节点，所以需要维护我们在旋转子树与整个树的关系,需要把subL->parent指向parent->parent,然后把parent->parent的_left或者_right指向subL，具体细节看下面代码的注释。

三、最后调整平衡因子，旋转过程只有parent和subL的平衡因子会改变，而且都是变为0。

void RotateR(Node* parent)
{//调整两个结点的孩子指针Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;subL->_right = parent;//调整三个结点的父亲指针if (subLR) // 结点1subLR->_parent = parent;//提前保存一下parent->_parentNode* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subL; // 结点2//subL的_parent分三种情况if (parent == _root){//parent是根节点_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{subL->_parent = parentParent;if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL; // 结点3}}//调整平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

左单旋

左单旋和右单旋逻辑上基本一致，小编这里就不细讲了。

左单旋代码实现

void RotateL(Node* parent)
{//调整两个结点的孩子指针Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;//调整三个结点的父亲指针if (subRL) // 结点1subRL->_parent = parent;//提前保存一下parent->_parentNode* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR; // 结点2//subR的parent分三种情况if (parent == _root){//parent是根节点_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{subR->_parent = parentParent;if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR; // 结点3}}//调整平衡因子subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

左右双旋

通过下面两幅图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决。以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，(把一开始根的左边小的右边小调整成一边小，这里被调整后都是左边小)以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树就平衡了。(旋转前是一边小再单旋就可以平衡)

以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

实际上左右双旋是可以一步到位的，相当于把subLR的左边分给了subL的右边，subLR的右边分给了parent的左边,最后把subLR推上去做根，我们看下面这幅图：

但是左右双旋体现在代码上还是一步一步来，因为可以复用单旋的代码，更爽一点。

平衡因子的更新：
左右双旋的旋转过程如上所示，只有一种情况，但是三个结点平衡因子的更新有三种情况，分别是将结点插入到b子树的e子树(情况一)、b子树的f子树(情况二)、b子树本身为空(情况三)，插入的结点本身就成了b子树。插入时的前两种情况旋转结束后体现在subL右子树的高度和parent左子树的高度，最后一种情况表明旋转只有三个结点参与，三个结点都没有子树。
最后平衡因子的结果是subLR始终为0，情况一subL为0，parent为-1，情况二subL为-1，parent为0，情况三subL、parent都为0。
要判别平衡因子的更新是哪种情况就需要记录插入后subLR的平衡因子，而且需要在两次单旋之前把值记录下来，因为单旋会把结点的平衡因子都置为0，(因为单旋是以只有一边大的逻辑来旋转和调整平衡因子的，所以左右双旋复用单旋代码后需要手动调整平衡因子)如果subLR的平衡因子为-1那么是情况1，为1那么是情况2，为0那么是情况3。

左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int tembf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//更新平衡因子subLR->_bf = 0;if (tembf == -1)     //情况一{subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if(tembf == 1)  //情况二{subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if(tembf == 0)  //情况三{subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int tembf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);//更新平衡因子subRL->_bf = 0;if (tembf == -1)      //情况一{subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if(tembf == 1)   //情况二{subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (tembf == 0)  //情况三{subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

判断旋转

if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)    //右单旋
{RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //左单旋
{RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //左右双旋(平衡因子异号)
{RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右左双旋
{RotateRL(parent);
}

我们可以总结发现，单旋时两个结点的平衡因子同号，双旋时两个结点的平衡因子异号。

中序遍历

void InOrder()
{_InOrder(_root);cout << endl;
}void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);
}

平衡检测(求高度)

我们实现的AVL树是否合格，就是检查每一个结点的平衡因子是否平衡，但是不能只检查平衡因子，因为平衡因子也可能出问题，所以需要递归求出每一个结点的平衡因子是否符合要求，然后再拿算的平衡因子和结点内部的平衡因子比较。方法就是通过递归求当前结点左右子树的高度，然后求当前结点左右⼦树⾼度差进⾏反向验证。
（代码中的abs 是 C++ 标准库中的一个函数，用于计算整数的绝对值（即去掉符号，只保留数值大小）

int Height()
{return _Height(_root);
}bool IsBalanceTree()
{return _IsBalanceTree(_root);
} int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int LHeight = _Height(root->_left);int RHeight = _Height(root->_right);return 1 + (LHeight > RHeight ? LHeight : RHeight);
}bool _IsBalanceTree(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;   //空树也是AVL树int diff = _Height(root->_right) - _Height(root->_left);if (abs(diff) >= 2){cout << "高度差异常" << endl;return false;}else if (diff != root->_bf){cout << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

查找

bool Find(const K& x)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first == x)return true;else if (cur->_kv.first > x)cur = cur->_left;elsecur = cur->_right;}return false;
}

Size(求结点个数)

int Size()
{return _Sise(_root);
}int _Sise(Node* _root)
{if (_root == nullptr)return 0;return 1 + _Sise(_root->_left) + _Sise(_root->_right);
}

三、源码

AVLTree.h：

#pragma once
using namespace std;
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <vector>template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){//单纯插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node * parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first) //判断cur插在parent的那边parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;//更新平衡因子while (parent) //若更新到根结点，更新结束---1{if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){//更新结束---2break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//不平衡了，旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)    //右单旋{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //左单旋{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //左右双旋(平衡因子异号){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右左双旋{RotateRL(parent);}//旋转完后，更新结束---3break;}else{//代码出错assert(false);}}return true; }void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}int Height(){return _Height(_root);}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}  bool Find(const K& x){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first == x)return true;else if (cur->_kv.first > x)cur = cur->_left;elsecur = cur->_right;}return false;}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int LHeight = _Height(root->_left);int RHeight = _Height(root->_right);return 1 + (LHeight > RHeight ? LHeight : RHeight);}bool _IsBalanceTree(Node* root){if (root == nullptr)return true;   //空树也是AVL树int diff = _Height(root->_right) - _Height(root->_left);if (abs(diff) >= 2){cout << "高度差异常" << endl;return false;}else if (diff != root->_bf){cout << "平衡因子异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}int Size(){return _Sise(_root);}int _Sise(Node* _root){if (_root == nullptr)return 0;return 1 + _Sise(_root->_left) + _Sise(_root->_right);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}void RotateR(Node* parent){//调整两个结点的孩子指针Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;subL->_right = parent;//调整三个结点的父亲指针if (subLR) // 结点1subLR->_parent = parent;//提前保存一下parent->_parentNode* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subL; // 结点2//subL的_parent分三种情况if (parent == _root){//parent是根节点_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{subL->_parent = parentParent;if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL; // 结点3}}//调整平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){//调整两个结点的孩子指针Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;subR->_left = parent;//调整三个结点的父亲指针if (subRL) // 结点1subRL->_parent = parent;//提前保存一下parent->_parentNode* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR; // 结点2//subR的parent分三种情况if (parent == _root){//parent是根节点_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{subR->_parent = parentParent;if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR; // 结点3}}//调整平衡因子subR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int tembf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);//更新平衡因子subLR->_bf = 0;if (tembf == -1)     //情况一{subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if(tembf == 1)  //情况二{subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if(tembf == 0)  //情况三{subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int tembf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);//更新平衡因子subRL->_bf = 0;if (tembf == -1)      //情况一{subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;}else if(tembf == 1)   //情况二{subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (tembf == 0)  //情况三{subR->_bf = subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}private:Node* _root = nullptr;
};

test.c:

#include "AVLTree.h"void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;// 常规的测试⽤例int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 特殊的带有双旋场景的测试⽤例//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}t.InOrder();cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}// 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等
void TestAVLTree2()
{const int N = 100000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand() + i);}size_t begin2 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert(make_pair(e, e));}size_t end2 = clock();cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;cout << "Height:" << t.Height() << endl;cout << "Size:" << t.Size() << endl;size_t begin1 = clock();// 确定在的值for (auto e : v){t.Find(e);}// 随机值//for (size_t i = 0; i < N; i++)//{//	t.Find((rand() + i));//}size_t end1 = clock();cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}int main()
{//TestAVLTree1();TestAVLTree2();return 0;
}

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