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灾后食物能源协调供应优化模型

news 2025/8/11 12:08:04

灾后食物能源协调供应优化模型

项目概述

本项目基于论文《Coordinated Post-Disaster Supply of Food and Energy: A Two-Stage Stochastic Optimization Approach》，实现了一个完整的两阶段随机优化模型，用于解决灾后环境中食物和能源供应链的协调优化问题。该模型考虑了灾害的不确定性，通过预定位决策和场景响应决策的两阶段框架，最小化总期望成本。

数学模型详解

1. 问题描述

在灾害发生前，决策者需要确定在各个需求点预定位多少食物和能源资源。灾害发生后，根据实际场景进行资源分配和运输。目标是在满足容量约束和需求约束的前提下，最小化预定位成本、运输成本和未满足需求的惩罚成本的期望值。

2. 集合与参数定义

集合：

$I$ ：仓库集合， $I = \{0, 1, 2\}$ （3个仓库）
$J$ ：需求节点集合， $J = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ （5个需求点）
$S$ ：灾害场景集合， $S = \{0, 1, 2, 3\}$ （4种场景）

参数：

$c_{ij}$ ：从仓库 $i$ 到需求点 $j$ 的单位运输成本
$d_j^s$ ：场景 $s$ 下需求点 $j$ 的食物需求量
$cap_j^s$ ：场景 $s$ 下需求点 $j$ 的能源可用容量
$πs\pi_s$ ：场景 $s$ 的发生概率， $∑s∈Sπs=1\sum_{s \in S} \pi_s = 1$
$αj\alpha_j$ ：需求点 $j$ 未满足需求的单位惩罚成本
$βj\beta_j$ ：需求点 $j$ 的能源需求系数（每单位食物需要的能源量）
$FC$ ：食物预定位单位成本
$EC$ ：能源预定位单位成本
$FoodCap_j$ ：需求点 $j$ 的食物容量限制
$EnergyCap_j$ ：需求点 $j$ 的能源容量限制
$WSC_i^{food}$ ：仓库 $i$ 的食物供应能力
$WSC_i^{energy}$ ：仓库 $i$ 的能源供应能力

3. 决策变量

第一阶段决策变量（预定位决策）：

$x_{ij}^f$ ：从仓库 $i$ 预定位到需求点 $j$ 的食物单位数
$x_{ij}^e$ ：从仓库 $i$ 预定位到需求点 $j$ 的能源单位数

第二阶段决策变量（场景响应决策）：

$y_{ij}^s$ ：场景 $s$ 下从仓库 $i$ 运输到需求点 $j$ 的食物单位数
$u_j^s$ ：场景 $s$ 下分配给需求点 $j$ 的能源单位数
$v_j^s$ ：场景 $s$ 下需求点 $j$ 的未满足食物需求

4. 目标函数

最小化总期望成本：

$期望惩罚成本\min Z = \underbrace{\sum_{i \in I} \sum_{j \in J} FC \cdot x_{ij}^f + \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} EC \cdot x_{ij}^e}_{\text{第一阶段：预定位成本}} + \underbrace{\sum_{s \in S} \pi_s \left[ \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} c_{ij} \cdot y_{ij}^s + \sum_{j \in J} \alpha_j \cdot v_j^s \right]}_{\text{第二阶段：期望运输成本 + 期望惩罚成本}}$

5. 约束条件

容量约束：
$∑i∈Ixijf≤FoodCapj,∀j∈J(食物容量约束)\sum_{i \in I} x_{ij}^f \leq FoodCap_j, \quad \forall j \in J \quad \text{(食物容量约束)}$

$∑i∈Ixije≤EnergyCapj,∀j∈J(能源容量约束)\sum_{i \in I} x_{ij}^e \leq EnergyCap_j, \quad \forall j \in J \quad \text{(能源容量约束)}$

需求满足约束：
$∑i∈Iyijs+vjs=djs,∀j∈J,s∈S(需求平衡约束)\sum_{i \in I} y_{ij}^s + v_j^s = d_j^s, \quad \forall j \in J, s \in S \quad \text{(需求平衡约束)}$

能源需求约束：
$ujs≥βj⋅∑i∈Iyijs,∀j∈J,s∈S(能源需求约束)u_j^s \geq \beta_j \cdot \sum_{i \in I} y_{ij}^s, \quad \forall j \in J, s \in S \quad \text{(能源需求约束)}$

预定位资源利用约束：
$yijs≤xijf,∀i∈I,j∈J,s∈S(食物预定位利用约束)y_{ij}^s \leq x_{ij}^f, \quad \forall i \in I, j \in J, s \in S \quad \text{(食物预定位利用约束)}$

能源分配约束：
$ujs≤∑i∈Ixije,∀j∈J,s∈S(能源分配约束)u_j^s \leq \sum_{i \in I} x_{ij}^e, \quad \forall j \in J, s \in S \quad \text{(能源分配约束)}$

场景能源容量约束：
$ujs≤capjs,∀j∈J,s∈S(场景能源容量约束)u_j^s \leq cap_j^s, \quad \forall j \in J, s \in S \quad \text{(场景能源容量约束)}$

仓库供应能力约束：
$∑j∈Jxijf+∑j∈J∑s∈Sπs⋅yijs≤WSCifood,∀i∈I(仓库食物供应约束)\sum_{j \in J} x_{ij}^f + \sum_{j \in J} \sum_{s \in S} \pi_s \cdot y_{ij}^s \leq WSC_i^{food}, \quad \forall i \in I \quad \text{(仓库食物供应约束)}$

$∑j∈Jxije≤WSCienergy,∀i∈I(仓库能源供应约束)\sum_{j \in J} x_{ij}^e \leq WSC_i^{energy}, \quad \forall i \in I \quad \text{(仓库能源供应约束)}$

非负性约束：
$xijf,xije,yijs,ujs,vjs≥0,∀i∈I,j∈J,s∈Sx_{ij}^f, x_{ij}^e, y_{ij}^s, u_j^s, v_j^s \geq 0, \quad \forall i \in I, j \in J, s \in S$

技术实现

1. 模型规模

决策变量数量：130个
- 第一阶段变量：30个（食物预定位15个 + 能源预定位15个）
- 第二阶段变量：100个（运输变量60个 + 能源分配20个 + 未满足需求20个）
约束条件数量：156个
- 容量约束：10个
- 需求满足约束：20个
- 能源需求约束：20个
- 预定位利用约束：60个
- 能源分配约束：20个
- 场景能源容量约束：20个
- 仓库供应能力约束：6个

2. 求解器配置

求解器：CBC (Coin-or Branch and Cut)
求解方法：线性规划单纯形法
时间限制：300秒
最优性间隙：0.01

3. 参数设置

网络结构：

仓库数量：3个
需求节点数量：5个
灾害场景数量：4个

成本参数：

食物预定位成本：$2.0/单位
能源预定位成本：$3.0/单位
运输成本：基于欧几里得距离，$0.5/单位距离
惩罚权重：$100-130/单位（根据需求点重要性）

场景设置：

场景0（轻微灾害）：概率30%，需求增加20%，能源可用性90%
场景1（中等灾害）：概率40%，需求增加50%，能源可用性70%
场景2（严重灾害）：概率20%，需求增加100%，能源可用性50%
场景3（极端灾害）：概率10%，需求增加150%，能源可用性30%

求解结果与分析

1. 求解性能

求解状态：最优解 (Optimal)
求解时间：0.01秒（106次迭代）
最优目标值：$21,068.08
决策变量：130个（全部非负，满足所有约束）

2. 成本结构分析

总成本分解：

食物预定位成本：$1,651.80 (7.8%)
能源预定位成本：$925.43 (4.4%)
期望运输成本：$5,021.20 (23.8%)
期望惩罚成本：$13,469.65 (63.9%)

关键观察：

惩罚成本占主导：未满足需求的惩罚成本占总成本的63.9%，表明在极端灾害场景下存在显著的供需缺口
预定位成本较低：第一阶段预定位成本仅占12.2%，说明预定位策略相对经济
运输成本适中：期望运输成本占23.8%，反映了网络结构的合理性

3. 决策变量分析

第一阶段预定位决策：

总预定位食物：825.90单位
总预定位能源：308.48单位
食物/能源比例：2.68:1（符合能源需求系数设置）

预定位分布模式：

仓库0：主要服务需求点0和1（地理位置邻近）
仓库1：主要服务需求点1、2和3（中心位置优势）
仓库2：主要服务需求点3和4（东部区域覆盖）

4. 场景性能分析

场景	概率	需求倍数	服务水平	未满足需求	能源可用性
0 (轻微)	30%	1.2×	100.0%	0.0单位	90%
1 (中等)	40%	1.5×	100.0%	0.0单位	70%
2 (严重)	20%	2.0×	82.0%	180.9单位	50%
3 (极端)	10%	2.5×	40.0%	805.9单位	30%

场景分析结论：

轻微和中等灾害：模型能够完全满足需求，服务水平达到100%
严重灾害：服务水平下降到82%，开始出现供需缺口
极端灾害：服务水平急剧下降到40%，未满足需求大幅增加
加权平均服务水平：90.4%（考虑场景概率）

5. 资源利用效率分析

各需求点资源利用率：

需求点	食物利用率	能源利用率	平均服务水平	重要性权重
0	87.2%	39.2%	81.6%	α₀=100
1	90.9%	48.5%	79.5%	α₁=120
2	93.5%	49.1%	82.3%	α₂=110
3	95.1%	52.3%	79.4%	α₃=130
4	84.8%	39.5%	81.0%	α₄=105

利用率分析：

食物容量利用率高：平均90.3%，表明食物预定位策略较为充分
能源容量利用率低：平均45.7%，存在能源资源配置优化空间
服务水平相对均衡：各需求点平均服务水平在79.4%-82.3%之间
重要性导向：高惩罚权重的需求点（如点3）获得更高的资源配置

敏感性分析

惩罚权重敏感性分析

为了评估模型对关键参数的敏感性，我们测试了不同惩罚权重倍数对优化结果的影响：

惩罚权重倍数	总成本	未满足需求	成本变化率	边际成本效应
0.5×	$14,315.79	986.75单位	-32.0%	基准
0.8×	$18,369.45	986.75单位	-12.8%	$4,053.66/0.3倍数
1.0×	$21,068.08	986.75单位	0%	$2,698.63/0.2倍数
1.2×	$23,762.01	986.75单位	+12.8%	$2,693.93/0.2倍数
1.5×	$27,802.90	986.75单位	+32.0%	$4,040.89/0.3倍数

关键发现：

线性成本关系：总成本与惩罚权重倍数呈完美线性关系，表明模型在当前参数范围内具有良好的数学性质
未满足需求不变：在所有测试倍数下，未满足需求保持恒定（986.75单位），说明当前网络容量是约束瓶颈，而非惩罚成本
边际成本递增：随着惩罚权重增加，边际成本呈现递增趋势，符合经济学原理
决策稳健性：惩罚权重的变化不影响最优决策变量的分配模式，表明当前解具有较强的稳健性

可视化分析

生成的图表类型

网络拓扑图 (network_topology.png)
- 显示仓库和需求点的地理分布
- 标识有效的预定位连接关系
- 可视化网络结构的合理性
成本分解图 (cost_breakdown.png)
- 饼图展示四类成本的占比
- 突出惩罚成本的主导地位
- 便于理解成本结构
场景性能对比图 (scenario_performance.png)
- 对比各场景的服务水平和未满足需求
- 显示场景概率权重
- 分析灾害严重程度的影响
资源利用率图 (resource_utilization.png)
- 对比各需求点的食物和能源利用率
- 识别资源配置的不平衡性
- 指导资源优化方向
决策变量热力图 (decision_heatmaps.png)
- 四个子图展示预定位决策、运输成本、总价值分布
- 热力图形式直观显示决策模式
- 便于识别关键的仓库-需求点对
场景详细对比图 (scenario_comparison.png)
- 多维度分析各场景的需求、供应、缺口
- 服务水平趋势分析
- 各节点在不同场景下的表现
仓库性能分析图 (warehouse_performance.png)
- 各仓库的预定位量、利用率、供应能力对比
- 识别仓库效率差异
- 支持仓库扩容决策
敏感性分析图 (sensitivity_analysis.png)
- 惩罚权重对总成本和未满足需求的影响
- 成本效率分析
- 参数稳健性评估

项目文件结构

核心代码文件

├── main.py                    # 主程序入口，完整执行流程
├── config.py                  # 配置参数，模型设置
├── data_manager.py           # 数据生成和管理
├── disaster_relief_model.py  # 核心优化模型实现
├── result_analyzer.py        # 结果分析和报告生成
├── visualizer.py             # 可视化图表生成
├── test_model.py             # 模型测试和验证
└── requirements.txt          # 依赖包列表

输出文件

├── model_parameters.xlsx     # 模型参数详细信息
├── results/
│   ├── optimization_results.xlsx    # 完整优化结果
│   ├── network_topology.png         # 网络拓扑图
│   ├── cost_breakdown.png           # 成本分解图
│   ├── scenario_performance.png     # 场景性能图
│   ├── resource_utilization.png     # 资源利用率图
│   ├── decision_heatmaps.png        # 决策变量热力图
│   ├── scenario_comparison.png      # 场景详细对比
│   ├── warehouse_performance.png    # 仓库性能分析
│   └── sensitivity_analysis.png     # 敏感性分析图