【ee类保研面试】数学类---概率论
25保研er，希望将自己的面试复习分享出来，供大家参考
part0—英语类
part1—通信类
part2—信号类
part3—高数类
part100—self项目准备
文章目录
- **3. 概率论要点**
- **3.1 无偏性、有效性、一致性（相合性）**
- **3.2 全概率公式与贝叶斯公式**
- **3.3 大数定律与中心极限定理**
- **3.4 常见概率分布**
- **3.5 概率密度函数（PDF）**
- **3.6 联合概率与边缘概率**
- **3.7 概率论与数理统计的关系**
- **3.8 马尔可夫过程**
- **3.9 假设检验与两类错误**
- **3.10 变量与随机变量**
- **3.11 数学期望与方差**
- **3.12 独立性与相关性**
- **3.13 协方差与相关系数**
- 面试经典问题
- **📌 概率论面试真题整理**
- 【北航】【北大】贝叶斯公式是什么，有什么应用
- 【北航】期望和方差的定义
- 【北航】全概率公式
- 【复旦】【22年复旦又问到了！】最大似然估计（MLE）
- 【复旦】【北航】解释独立性、相关性、互斥性
- 【北大】【北航】大数定律 & 中心极限定理
- 【msra】熵是什么
- 【北航】【复旦】高斯分布（正态分布）是什么
- 【北航】概率密度函数 是什么
- 【北航】二项分布、超几何分布
- 【北航】泊松分布
3. 概率论要点
3.1 无偏性、有效性、一致性（相合性）
- 无偏性：估计量的期望等于参数真值，即估计不系统偏差。
- 有效性：在所有无偏估计中，方差最小者最有效。
- 一致性：样本数增大时，估计值趋近于真实参数。
✅ 面试常问：“无偏是否代表一致？”、“有效性和方差有什么关系？”
3.2 全概率公式与贝叶斯公式
- 全概率公式：用于将复杂事件的概率，分解为多个互斥事件条件下的加权求和。
- 贝叶斯公式：已知结果，反推出原因；利用先验和似然计算后验概率。
- 对比：全概率——因推果；贝叶斯——果溯因。
✅ 面试常问：“贝叶斯公式的直观解释？”、“和全概率公式的关系？”
3.3 大数定律与中心极限定理
- 切比雪夫大数定律：样本均值趋近于期望，适用于有限方差的变量。
- 伯努利大数定律：事件频率趋近于其真实概率。
- 中心极限定理：大量独立变量之和趋近正态分布，无论原分布如何。
✅ 面试常问：“大数定律和中心极限定理的区别？”、“为什么正态分布广泛存在？”
3.4 常见概率分布
- 正态分布：连续型分布，钟形曲线，均值为对称中心。
- 泊松分布：描述单位时间内某事件发生次数，常用于稀疏事件建模。
- 指数分布：描述等待时间，记忆性强，常用于寿命分析。
✅ 面试常问：“泊松和指数有什么联系？”、“为什么中心极限定理指向正态？”
3.5 概率密度函数（PDF）
- 定义连续型随机变量的分布，函数值本身非概率。
- 用积分求区间概率：P(a<X<b)=∫abf(x)dxP(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dxP(a<X<b)=∫abf(x)dx。
✅ 面试常问：“PDF值能表示概率吗？”、“如何通过密度函数求概率？”
3.6 联合概率与边缘概率
- 联合概率：描述多个随机变量同时取某些值的概率。
- 边缘概率：在联合概率的基础上，固定其他变量后得到某一变量的概率。
✅ 面试常问：“怎么从联合分布求边缘分布？”、“联合≠乘积表示什么？”
3.7 概率论与数理统计的关系
- 概率论：从模型出发，推测数据如何分布（从因到果）。
- 数理统计：从数据出发，推测模型参数（从果到因）。
✅ 面试常问：“两者核心区别？”、“你学的内容更偏概率论还是统计？”
3.8 马尔可夫过程
- 一类随机过程，当前状态只依赖前一状态，不依赖更早状态。
- 特点：无后效性（记忆性弱）、状态转移矩阵描述过程。
✅ 面试常问：“马尔可夫性本质是什么？”、“怎么建转移概率矩阵？”
3.9 假设检验与两类错误
- 定义：对总体参数进行判断，基于样本做出“接受”或“拒绝”决策。
- 一类错误：假设真实但被拒绝（弃真）。
- 二类错误：假设错误但未拒绝（留伪）。
✅ 面试常问：“p值和第一类错误的关系？”、“犯错概率如何平衡？”
3.10 变量与随机变量
- 变量：可变数值，没有概率含义。
- 随机变量：每个取值有概率分布，反映不确定性。
✅ 面试常问：“随机变量为什么需要分布？”、“变量一定是随机的吗？”
3.11 数学期望与方差
- 数学期望：加权平均值，反映长期平均水平。
- 方差：衡量数据离散程度，是波动性的量度。
✅ 面试常问：“期望和平均值关系？”、“方差为0说明什么？”
3.12 独立性与相关性
- 独立性：事件之间完全无影响。
- 相关性：描述变量间线性关系，可正相关或负相关。
✅ 面试常问：“独立一定不相关吗？”、“不相关是否意味着独立？”
3.13 协方差与相关系数
- 协方差：刻画变量的联合变化方向，有量纲。
- 相关系数：协方差的无量纲归一化，值在 -1 到 1 之间。
✅ 面试常问：“为什么要用相关系数？”、“两个变量无协方差就独立吗？”
面试经典问题
📌 概率论面试真题整理
【北航】【北大】贝叶斯公式是什么，有什么应用
- 已知 B 求 A 的概率，等于 AB 同时发生的概率 / B 的概率。
- 即事情已经发生，求是哪件事导致的（从果推因）。
- 也可理解为利用先验和似然来计算后验概率。
【北航】期望和方差的定义
- 数学期望：加权平均值，反映随机变量的中心趋势。
- 方差：衡量变量与其期望之间的离散程度。
【北航】全概率公式
- 必须是完备事件组（两两互斥、联合覆盖样本空间）。
- 公式：P(B)=∑iP(B∣Ai)P(Ai)P(B) = \sum_i P(B|A_i)P(A_i)P(B)=∑iP(B∣Ai)P(Ai)
【复旦】【22年复旦又问到了！】最大似然估计（MLE）
- 概率是从参数出发预测数据；似然是从数据出发推测参数。
- 最大似然函数：L(θ∣x)=P(x∣θ)L(\theta|x) = P(x|\theta)L(θ∣x)=P(x∣θ)
- 应用：用于估计模型参数（如正态分布的均值和方差）
【复旦】【北航】解释独立性、相关性、互斥性
- 独立性：互不影响，P(A∩B) = P(A)P(B)，条件概率等于原概率。
- 互斥性：不能同时发生，P(A∩B) = 0。
- 条件独立：P(AB∣C)=P(A∣C)P(B∣C)
- 协方差：衡量两个变量的线性相关强度。
- 相关系数：对协方差归一化处理，消除量纲影响。
- 关系：独立 ⇒ 不相关；不相关 ⇏ 独立（举例：Y = X²）
【北大】【北航】大数定律 & 中心极限定理
- 切比雪夫大数定律：样本均值趋近于期望。
- 伯努利大数定律：频率趋近于概率。
- 辛钦大数定律：样本均值 → 数学期望（常见表述）。
- 中心极限定理：样本均值分布趋近正态分布（适用于任意分布）。
- 应用：蒙特卡罗模拟、误差估计、置信区间计算等。
【msra】熵是什么
- 熵衡量信息的不确定性或平均信息量。
- 定义：H(X)=−∑P(xi)logP(xi)H(X) = -\sum P(x_i) \log P(x_i)H(X)=−∑P(xi)logP(xi)
- 应用：编码、压缩、通信系统中衡量信息量。
【北航】【复旦】高斯分布（正态分布）是什么
- 定义：X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)X∼N(μ,σ2)
- 密度函数为钟形曲线，μ 为均值决定位置，σ 控制分布宽度。
- 标准正态分布：μ = 0, σ = 1
- 应用：赋分系统、误差建模、中心极限定理等。
【北航】概率密度函数 是什么
- 用于描述连续型随机变量的概率分布。
- 单点概率为0，区间概率由积分给出。
- 概率密度 = 区间概率 / 区间长度（极限形式）
【北航】二项分布、超几何分布
- 二项分布：n 次独立伯努利试验中，事件 A 发生 k 次的概率分布。
- 超几何分布：有限总体中不放回抽取 n 个样本，成功抽到指定类型的次数分布。
【北航】泊松分布
- 描述单位时间或单位面积内事件发生的次数，λ 为平均次数。
- 应用：建模稀疏事件，如交通事故、顾客到达等。
- 二项分布近似形式（当 n 很大、p 很小时，λ = np）。