当前位置: 首页 > news >正文

悬挂的绳子,它的函数方程是什么样子的?

悬挂的绳子,它的函数方程是什么样子的?

参考资料:

  1. 用微积分方法推导“悬链线”方程,超级简单!!哔哩哔哩
  2. 悬链线方程的推导 - 知乎
  3. DeepSeek

前言

一个偶然的机会,笔者记起来,当时的高中数学教材引入自然常数 eee 的时候,似乎提到一句话,大体意思是说 eee 在生活中随处可见,比如两段电线杆之间自然下垂的电线就藏着自然常数的身影。

本人虽然没有学过大学物理,但是名义上来说也是学过了《微积分》和《线性代数》,因此机缘巧合之下,就想要试试能不能尽力去推导一下,悬挂的绳子究竟对应着怎样的函数方程,是否有一些美妙的性质。

一开始,笔者尝试通过互联网检索关键词“悬挂的绳子”查找相关资料,果然找到了“悬链线方程”这一比较正式的说法,下面是笔者整理的过程。

定义和假设

这里我们考虑一根长度为 lll 的绳,假设这根绳子是不可伸缩的,处处密度相等(假设线密度为 ρ\rhoρ )的,柔软的,左右两端点被固定在水平距离为 xxx 的两个端点上。

接下来,我们建立坐标系,设这个函数为f(x)f(x)f(x)(这里的纵坐标并未定义,我们先不做讨论)。根据问题的对称性,该函数图像应该是左右对称的,也就是说,这是一个偶函数,我们重点关注 x>0x>0x>0 的部分。
(图中只是给出函数的大体图像方便想象,请忽略具体值)

推导

根据假设,该函数的定义域是 x∈[0,s2]x \in [0, \frac s 2]x[0,2s], 我们这里选取这样一段绳子,横坐标为 [0,x1][0, x_1][0,x1]x1x_1x1可以取任意值)。
我们对这一部分绳子进行受力分析,这段绳子受到水平向左的拉力 F0F_0F0,受到斜向右上的拉力 F1F_1F1,设拉力方向与向右水平的夹角角度为 θ\thetaθ,受到向下的重力 GGG

(首先,我们要确定,绳子内部某一点所受拉力的方向一定沿着此处绳子的切线方向):
针对 F0F_0F0,水平的原因是 (x=0)(x=0)(x=0) 处的斜率为0(偶函数/最低点);
针对 F1F_1F1,这里函数的斜率就是 f′(x1)f'(x_1)f(x1),力的大小暂时未知;
针对 GGG,我们可以用 f(x)f(x)f(x) 表示出来这段绳子的长度,从而求出绳子的重力:
G=ρg∫0x11+f′2(x)dxG = \rho g \int_{0}^{x_1} \sqrt{1 + f'^2(x)} \,dx G=ρg0x11+f′2(x)dx
下面,我们根据三个力的受力平衡,给出下面两个方程:
F0=F1⋅cos⁡θ(水平方向)G=F1⋅sin⁡θ(竖直方向)F_0 = F_1 \cdot \cos \theta \qquad(水平方向) \\ G = F_1 \cdot \sin \theta \qquad (竖直方向) \\ F0=F1cosθ(水平方向)G=F1sinθ(竖直方向)
两个式子做差:
G=F0⋅tan⁡θ⇒ρg∫0x11+f′2(x)dx=F0f′(x)(tan⁡θ=k=f′(x))⇒ρgF01+f′2(x)=f′′(x)(两边同时求导消去积分)G = F_0 \cdot \tan \theta \\ \Rightarrow \rho g \int_{0}^{x_1} \sqrt{1 + f'^2(x)} \,dx = F_0 f'(x) \qquad(\tan\theta = k = f'(x)) \\ \Rightarrow \frac{\rho g}{F_0}\sqrt{1 + f'^2(x)} = f''(x) \qquad(两边同时求导消去积分) G=F0tanθρg0x11+f′2(x)dx=F0f(x)(tanθ=k=f(x))F0ρg1+f′2(x)=f′′(x)(两边同时求导消去积分)
为了方便表示,这里的系数是定值,不妨设为 aaa,于是有:
a1+f′2(x)=f′′(x)a \sqrt{1 + f'^2(x)} = f''(x) a1+f′2(x)=f′′(x)
原本的问题就变成了对这样一个微分方程的求解。

求解微分方程

(过程有些繁琐但是用到的都是比较基础的微积分知识)

这里我直接求助了 deepseek,最后与视频给出的答案也是一致的,过程如下:
令f′(x)=p(x),f′′(x)=p′(x),原本的问题变为p′(x)=p2(x)+1⇒dpp2(x)+1=adx⇒d(ln⁡(p+1+p2))=adx⇒ln⁡(p+1+p2)=ax+C这里带入(x=0)的情况,右侧为C,左侧因为p(0)=f′(0)=0,因此C=0可以确定于是现在只需要再去求p即可。p+1+p2=eax(1)(这里(2)的由来比较巧妙,可以理解为(1)取倒数之后的分子有理化)−p+1+p2=e−ax(2)两者联立,就可以得到:f′(x)=p=12(eax−e−ax)f(x)=12a(eax+e−ax)+C这里就回到我们一开始说的纵坐标问题,我们不妨让C=0,就可以得到一个非常优美的函数!!f(x)=12a(eax+e−ax)令f'(x) = p(x), f''(x) = p'(x),原本的问题变为 \\ p'(x) = \sqrt {p^2(x) + 1} \\ \Rightarrow \frac {dp} {\sqrt {p^2(x) + 1}} = adx \\ \Rightarrow d(\ln (p + \sqrt{1+p^2})) = adx \\ \Rightarrow \ln (p + \sqrt{1+p^2}) = ax + C \\ 这里带入 (x=0)的情况,右侧为C,左侧因为 p(0) = f'(0) = 0,因此C=0可以确定 \\ 于是现在只需要再去求p即可。 \\ p + \sqrt{1+p^2} = e^{ax} \quad (1) \\ (这里(2)的由来比较巧妙,可以理解为(1)取倒数之后的分子有理化)\\ -p + \sqrt{1+p^2} = e^{-ax} \quad (2) \\ 两者联立,就可以得到: \\ f'(x) = p = \frac 1 {2} (e^{ax} - e^{-ax}) \\ f(x) = \frac{1}{2a} (e^{ax} + e^{-ax}) + C \\ 这里就回到我们一开始说的纵坐标问题,我们不妨让 C = 0,就可以得到一个非常优美的函数!!\\ f(x) = \frac{1}{2a} (e^{ax} + e^{-ax}) f(x)=p(x),f′′(x)=p(x),原本的问题变为p(x)=p2(x)+1p2(x)+1dp=adxd(ln(p+1+p2))=adxln(p+1+p2)=ax+C这里带入(x=0)的情况,右侧为C,左侧因为p(0)=f(0)=0,因此C=0可以确定于是现在只需要再去求p即可。p+1+p2=eax(1)(这里(2)的由来比较巧妙,可以理解为(1)取倒数之后的分子有理化)p+1+p2=eax(2)两者联立,就可以得到:f(x)=p=21(eaxeax)f(x)=2a1(eax+eax)+C这里就回到我们一开始说的纵坐标问题,我们不妨让C=0,就可以得到一个非常优美的函数!!f(x)=2a1(eax+eax)

http://www.lryc.cn/news/608746.html

相关文章:

  • Python Dash 全面讲解
  • 大屏项目展示
  • 基于Springboot+UniApp+Ai实现模拟面试小工具八:管理端基础功能实现
  • RAG与智能体技术全景解析:架构革新、场景落地与未来趋势
  • linux2.6 和 unix-v6 源码实验
  • uni-app学习笔记01-项目初始化及相关文件
  • Java小红书源码1:1还原uniapp_仿小红书源码
  • UniApp 实现顶部固定导航栏 Tab 及滚动变色效果
  • 7.13.B+树
  • io_setup系统调用及示例
  • [AI8051U入门第十五步]W5500实现DHCP自动获取IP
  • UE5的渲染Debug技巧
  • [每周一更]-(第154期):Docker 底层深度剖析:掌控 CPU 与内存资源的艺术
  • Leetcode 12 java
  • GitHub 趋势日报 (2025年08月02日)
  • ThinkPad P16 Gen2,P16 Gen2 LTE(21FA,21FB)原装Win10Pro,Win11专业版系统镜像,恢复出厂开箱状态
  • All the Mods 9 - To the Sky - atm9sky 局域网联机报错可能解决方法
  • Timer串口常用库函数(STC8系列)
  • 代码随想录算法训练营第三十九天
  • 【内容规范】关于标题中【】标记的使用说明
  • 【机器学习③】 | CNN篇
  • k8s日志收集
  • Node.js 操作 MySQL
  • [硬件电路-129]:模拟电路 - 继电器的工作原理、关键指标、常用芯片与管脚定义
  • OSPF知识点整理
  • Flutter 函数的基本使用
  • OpenCV轻松入门_面向python(第一章OpenCV入门)
  • 企业IT管理——集团IT项目实施管理办法模板
  • Linux Deepin深度操作系统应用商店加载失败,安装星火应用商店
  • 学习笔记《区块链技术与应用》第六天 问答 匿名技术 零知识证明