层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）简介与简单示例

前言

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层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP） 是由美国运筹学家托马斯·塞蒂（Thomas L. Saaty）在20世纪70年代初期提出的一种多准则决策方法。它将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性和定量分析，常用于在多个相互冲突的准则下，对备选方案进行排序和选择。下面结合相关数学公式来详细介绍该算法：

1. 构建层次结构

AHP将决策问题分解为不同的层次结构，一般包括：

• 目标层：决策的最终目标，例如“选择最佳的投资项目” 。
• 准则层：实现目标所涉及的中间环节或评价准则，比如在投资项目选择中，可能包括 “成本”“收益”“风险”“市场前景” 等准则。
• 方案层：可供选择的具体方案，如 “投资项目A”“投资项目B”“投资项目C” 等。

2. 构造判断矩阵

在同一层次内，针对上一层次的某个元素，对该层次的元素进行两两比较，以确定它们相对重要性。使用1 - 9标度法来量化比较结果，如下表所示：

标度值	含义
1	两个元素相比，具有同样重要性
3	两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要
5	两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要
7	两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要
9	两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要
2, 4, 6, 8	上述相邻判断的中值
倒数	元素i与j比较得判断bij，则元素j与i比较的判断bji = 1/bij

假设准则层有$n$个准则，针对目标层的某个目标，两两比较后可得到判断矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，其中$a_{ij}$表示准则$i$相对于准则$j$的重要性程度，且满足$a_{ij}>0$，$a_{ii}=1$，$a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}$。

3. 计算权重向量

确定判断矩阵后，需要计算每个元素相对于上一层次某元素的相对权重。常用的方法有和积法和方根法，这里以和积法为例：

• 步骤一：列向量归一化
  将判断矩阵$\mathbf{A}$的每一列元素进行归一化处理，得到矩阵$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times n}$，计算公式为：
  $$b_{ij}=\frac{a_{ij}}{{\sum }_{k=1}^n{a}_{kj}}$$
• 步骤二：行求和并归一化
  对矩阵$\mathbf{B}$的每行元素求和，得到$r_i={\sum }_{j=1}^n{b}_{ij}$，再将$r_i$归一化，得到权重向量$\mathbf{W}=(w_1,w_2,\cdots ,w_n{)}^T$，计算公式为：
  $$w_i=\frac{r_i}{{\sum }_{k=1}^n{r}_k}$$

4. 一致性检验

由于判断矩阵是基于人的主观判断构建的，可能存在逻辑不一致的情况，因此需要进行一致性检验，以确保结果的可靠性。

• 步骤一：计算最大特征值${\lambda }_{max}$
  根据公式${\lambda }_{max}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{(\mathbf{AW}{)}_i}{w_i}$，其中$(\mathbf{AW}{)}_i$表示向量$\mathbf{AW}$的第$i$个元素。
• 步骤二：计算一致性指标$CI$
  $$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$
• 步骤三：查找随机一致性指标$RI$
  随机一致性指标$RI$是通过大量随机生成的判断矩阵计算得到的，不同阶数$n$对应的$RI$值如下：

阶数$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$RI$	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

• 步骤四：计算一致性比率$CR$
  $$CR=\frac{CI}{RI}$$
  当$CR<0.1$时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；如果$CR\ge 0.1$，则需要对判断矩阵进行调整，直到满足一致性要求。

5. 方案层权重计算与总权重合成

在准则层计算出各准则权重后，对方案层也重复上述构造判断矩阵、计算权重和一致性检验的步骤，得到各方案在每个准则下的权重。然后，将方案层在各准则下的权重与准则层的权重进行加权求和，得到各方案的总权重，计算公式为：
$$w_{总j}=\sum _{i=1}^n{w}_i{w}_{ji}$$
其中，$w_{总j}$表示第$j$个方案的总权重，$w_i$表示第$i$个准则的权重，$w_{ji}$表示第$j$个方案在第$i$个准则下的权重。总权重越大，说明该方案越优。

通过以上步骤，AHP算法将复杂的多准则决策问题转化为一系列简单的两两比较，并通过数学计算得出各方案的优先级，为决策者提供了一种系统、科学的决策方法。

简单示例

下面是一个使用 AHP（层次分析法） 优化决策的 经典示例 MATLAB 实现。我们以 选择最佳出行方式（如：开车、公交、自行车） 为例，考虑多个准则（时间、费用、舒适度、安全性）。

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✅ 示例：选择最佳出行方式

1. 目标层：

• 选择最佳出行方式

2. 准则层（Criteria）：

• 时间（Time）
• 费用（Cost）
• 舒适度（Comfort）
• 安全性（Safety）

3. 方案层（Alternatives）：

• 开车（Car）
• 公交（Bus）
• 自行车（Bike）

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📌 MATLAB AHP 示例代码

function AHP_example()%% 定义准则层对目标的两两比较矩阵（4x4）criteria_names = {'Time', 'Cost', 'Comfort', 'Safety'};A_criteria = [...1     3     1/2   2;   % Time1/3   1     1/5   1/2; % Cost2     5     1     3;   % Comfort1/2   2     1/3   1];  % Safety% 计算准则层权重[W_criteria, CI_criteria] = ahp_weight(A_criteria);fprintf('Criteria weights:\n'); disp(W_criteria);fprintf('Criteria Consistency Index (CI): %.4f\n\n', CI_criteria);%% 方案层：每个准则对应一个3x3的判断矩阵alt_names = {'Car', 'Bus', 'Bike'};n_alts = length(alt_names);% 时间准则下的比较A_time = [...1   2   4;1/2 1   3;1/4 1/3 1];% 费用准则下的比较A_cost = [...1    1/3  1/6;3    1    1/2;6    2    1];% 舒适度准则下的比较A_comfort = [...1    2    3;1/2  1    2;1/3  1/2  1];% 安全性准则下的比较A_safety = [...1   1/3 1/2;3   1   2;2   1/2 1];% 所有准则下的方案层权重W_time = ahp_weight(A_time);W_cost = ahp_weight(A_cost);W_comfort = ahp_weight(A_comfort);W_safety = ahp_weight(A_safety);% 合成总权重W_alts = [W_time W_cost W_comfort W_safety] * W_criteria;%% 可视化figure;bar(W_alts);set(gca, 'XTickLabel', alt_names, 'FontSize', 12);ylabel('Final Priority');title('AHP Decision Results - Best Transportation Mode');grid on;
end%% AHP权重计算函数
function [w, CI] = ahp_weight(A)n = size(A,1);[V,D] = eig(A);[lambda_max, idx] = max(real(diag(D)));w = real(V(:,idx));w = w / sum(w);CI = (lambda_max - n)/(n - 1);
end

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📊 运行效果

运行后将输出：

• 各准则权重
• 一致性指标 CI（< 0.1 为合理）
• 柱状图展示哪种交通方式优于其他

运行结果

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📎 提示

• 可自行修改判断矩阵来进行不同场景建模。
• 若 CI > 0.1，说明判断矩阵一致性差，需重新评估。

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