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定义域第一题

news 2025/7/27 9:45:09

f(x)=\frac{1}{\sqrt{sinx-cosx}}

求这个题目的定义域。

这个题目，通过观察知道，定义域主要是根号与分数有关。

第一：分数：

那么首先来判断分数的问题，根据分数的定义来说，分母不能等于零，不然没有意义，所以

\sqrt{sinx-cosx}\ne0，那么 sinx−cosx≠0 ，所以最后得出来的结论是 sinx≠cosx

第二：根号

除了分数的问题还有根号的问题，根号里面的必须要大于等于零

\sqrt{sinx-cosx}\geq0,但是根据第一种情况的回答，不能等于零，所以最后的式子是

\sqrt{sinx-cosx}>0那么

sinx-cosx>0，分析到这里，就是解决不等式与三角函数的功底了。

移动过去sinx>cosx，所以最后是三角函数的图像问题，这个题目定义域并不难，难在怎么求这个x的范围

\because sinx-cosx=asinx+cosx\therefore a=1,b=-1.\\ \therefore asinx+bcosx=Rsin(x+\alpha)\\ \\ R=\sqrt{a^2+b^2};\\ tan\alpha=\frac{b}{a}\\ \therefore R=\sqrt{2},tan\alpha=-1\\ \because tan\alpha=-1\\ \therefore\alpha= -\frac{\pi}{4}\\ \therefore sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})\\ \therefore sinx-cosx>0\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})>0\\ sin(x-\frac{\pi}{4})>0\\

到这里就是分析

sin(x-\frac{\pi}{4})>0 图像的问题，，那么来观察一下这个图像啊，左加右减自变量，所以整个式子其实就是sinx往右移动了 \frac{\pi]}{4}而已，其他的并不改变。

而sinx大于零的范围是x\in[0+2k\pi,\pi+2k\pi],,那么整个式子往右移动了\frac{\pi}{4}所以整个范围就是

x\in(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi),x\in Z(不能取到，因为分母的问题）所以这个就是f(x)的定义域

http://www.lryc.cn/news/600701.html

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