一文速通《多元函数微分学》

一、解题必背知识点

(1)二元函数连续、可偏导、可微之间的关系

可微 => 连续 => 极限存在.
可微 => 可偏导.
连续 不一定 可微.
可偏导 不一定 连续，更不一定 可微.

例题

(2)判断二元函数的连续性

一个二元函数 f(x,y) 在点 (x0​,y0​) 处连续，需要满足以下三个条件：

(3)判断极限存在的方法 

方法①：直接代入法

极限值等于函数值则函数连续，又连续 => 极限存在，则极限存在.

方法②：路径法(常用)

二元函数极限存在，要求点 (x,y) 沿任何路径趋近于 (x0,y0) 时，极限值都存在且相等。反之，如果能找到至少两条路径，使得极限值不相等，那么极限不存在，从而函数不连续。

例题

(4)判断二元函数的可偏导性

偏导数的定义公式法：

注意：左右偏导定义式存在即可偏导，不需要相等. 只要有一个偏导数不存在，函数在该点就是不可偏导的.

例题：

(5)判断二元函数的可微性

(6)f(x)=|x|在 x=0 点是不可导的（图像上是一个尖点）

几何直观：尖点处无法画出唯一的切线

代数证明：左右导数不相等

(7)隐函数求导

隐函数求导基本思路是：直接对方程两边分别对自变量求偏导，不需要对方程进行移项到一端只剩z.

例题

(8)全微分公式

例题

(9)二元函数极值求法

例题

(10)克莱罗定理

例题

(11) 全导数公式

例题

(12)三元函数求二阶偏导 

例题

二、解题必备技巧

(1)偏导+积分的——一种题型

(2)题目所给极限存在，且极限分母→0，为保证极限存在，分子必须→0或某种形式(具体看题目)，利用分子→或某种形式(具体看题目)，可以求得解题需要的信息.

这个技巧会以意想不到的形式出现.

例题

(3)在求二元函数的极值点的临界点时，如果在解 fy=0 中含有 x，可直接代入在解 fx=0 中得到的x，从而求得 y.

例题

(4)读懂 y=y(x)，z=z(x)

例题