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CSP-J系列【2023】P9751 [CSP-J 2023] 旅游巴士题解

news 2025/7/25 17:46:54

题目描述

小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

旅游景点的地图共有 n 处地点，在这些地点之间连有 m 条道路。其中 1 号地点为景区入口，n 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 0 时刻，则从 0 时刻起，每间隔 k 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口，同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

所有道路均只能单向通行。对于每条道路，游客步行通过的用时均为恰好 1 单位时间。

小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口，并沿着自己选择的任意路径走到景区出口，再乘坐旅游巴士离开，这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 k 的非负整数倍。由于节假日客流众多，小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动，而不想在任何地点（包括景区入口和出口）或者道路上停留。

出发前，小 Z 忽然得知：景区采取了限制客流的方法，对于每条道路均设置了一个 “开放时间”ai，游客只有不早于 ai 时刻才能通过这条道路。

请帮助小 Z 设计一个旅游方案，使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

输入格式

输入的第一行包含 3 个正整数 n,m,k，表示旅游景点的地点数、道路数，以及旅游巴士的发车间隔。

输入的接下来 m 行，每行包含 3 个非负整数 ui,vi,ai，表示第 i 条道路从地点 ui 出发，到达地点 vi，道路的“开放时间”为 ai。

输出格式

输出一行，仅包含一个整数，表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案，输出 -1。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

【样例 #1 解释】

小 Z 可以在 3 时刻到达景区入口，沿 1→3→4→5 的顺序走到景区出口，并在 6 时刻离开。

【样例 #2】

见附件中的 bus/bus2.in 与 bus/bus2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：2≤n≤104，1≤m≤2×104，1≤k≤100，1≤ui,vi≤n，0≤ai≤106。

测试点编号	n≤	m≤	k≤	特殊性质
1∼2	10	15	100	ai=0
3∼5	10	15	100	无
6∼7	104	2×104	1	ai=0
8∼10	104	2×104	1	无
11∼13	104	2×104	100	ai=0
14∼15	104	2×104	100	ui≤vi
16∼20	104	2×104	100	无

题目概述与分析

旅游巴士问题描述了一个由n个景点组成的旅游路线，景点之间通过单向道路连接。每条道路有固定的发车间隔k分钟，巴士会在每个整k倍数的时刻发车。题目要求计算从景点1到景点n的最短旅行时间。

这个问题可以建模为带时间约束的最短路径问题，需要考虑发车时间的限制条件。我们需要找到既满足路径连通性，又满足时间约束的最优解。

解法一：分层图+BFS算法

算法思路

构建分层图，每层表示不同的时间状态
使用BFS遍历所有可能的路径和时间组合
记录到达每个景点在不同时间状态下的最短时间
时间复杂度O(nk)，空间复杂度O(nk)


#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;struct State {int node;int time;State(int n, int t) : node(n), time(t) {}
};int main() {int n, m, k;cin >> n >> m >> k;vector<vector<pair<int, int>>> graph(n+1);for(int i=0; i<m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;graph[u].emplace_back(v, w);}vector<vector<int>> dist(n+1, vector<int>(k, INT_MAX));queue<State> q;q.emplace(1, 0);dist[1][0] = 0;while(!q.empty()) {State curr = q.front();q.pop();for(auto &edge : graph[curr.node]) {int next_node = edge.first;int cost = edge.second;int next_time = (dist[curr.node][curr.time % k] + cost + k - 1) / k * k;if(next_time < dist[next_node][next_time % k]) {dist[next_node][next_time % k] = next_time;q.emplace(next_node, next_time % k);}}}int result = *min_element(dist[n].begin(), dist[n].end());cout << (result == INT_MAX ? -1 : result) << endl;return 0;
}

分层图BFS解法通过状态扩展处理时间约束，确保找到满足发车时间的最短路径。

解法二：Dijkstra算法优化

算法思路

使用优先队列优化的Dijkstra算法
状态包含节点和到达时间的模k值
根据发车间隔计算等待时间
时间复杂度O(m log(nk))，空间复杂度O(nk)

#include <vector>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;struct State {int node;int mod;int time;State(int n, int m, int t) : node(n), mod(m), time(t) {}bool operator>(const State &other) const {return time > other.time;}
};int main() {int n, m, k;cin >> n >> m >> k;vector<vector<pair<int, int>>> graph(n+1);for(int i=0; i<m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;graph[u].emplace_back(v, w);}vector<vector<int>> dist(n+1, vector<int>(k, INT_MAX));priority_queue<State, vector<State>, greater<State>> pq;pq.emplace(1, 0, 0);dist[1][0] = 0;while(!pq.empty()) {State curr = pq.top();pq.pop();if(curr.time > dist[curr.node][curr.mod]) continue;for(auto &edge : graph[curr.node]) {int next_node = edge.first;int cost = edge.second;int arrival_time = curr.time + cost;int wait_time = (k - (arrival_time % k)) % k;int next_time = arrival_time + wait_time;int next_mod = next_time % k;if(next_time < dist[next_node][next_mod]) {dist[next_node][next_mod] = next_time;pq.emplace(next_node, next_mod, next_time);}}}int result = *min_element(dist[n].begin(), dist[n].end());cout << (result == INT_MAX ? -1 : result) << endl;return 0;
}

Dijkstra优化解法利用优先队列高效处理带时间约束的最短路径问题，适合稀疏图场景。