练习题-17
以下题目来自2024年5月清华大学“丘成桐数学科学领军计划数学水平考试”。第11题本人参考了网友Fiddie (数学兔的极大理想）的解答，原网址是 https://mp.weixin.qq.com/s/q9slRWL4iO_TcSdkmbfbbw.
第10题：在10维列向量构成的内积空间 V V V中，定义由向量 v v v引起的反射为 P v ( x ) = x − 2 ( x , v ) ( v , v ) v . P_v(x)=x-2\frac{(x,v)}{(v,v)}v. Pv(x)=x−2(v,v)(x,v)v. 今有向量 v , w ∈ V v, w\in V v,w∈V, 满足 0 < ( v , w ) < ( v , v ) ( w , w ) . 0< (v,w)<\sqrt{(v,v)\, (w,w)}. 0<(v,w)<(v,v)(w,w). 记 Q = P w ∘ P v Q=P_w \circ P_v Q=Pw∘Pv. 则所有满足 P ∘ Q = Q ∘ P P \circ Q = Q \circ P P∘Q=Q∘P的线性变换 P : V → V P: V \to V P:V→V构成的子空间的维数是多少？
解：依题意，向量 v , w v, w v,w线性无关. 不妨假设 v , w v, w v,w夹角为 θ / 2 ∈ ( 0 , π / 2 ) \theta/2 \in (0, \pi/2) θ/2∈(0,π/2) (注意 P v = P − v P_v = P_{-v} Pv=P−v. 必要时用 − v -v −v代替 v v v，即可保证夹角为锐角). 在二维子空间 W = s p a n ( v , w ) W=\mathrm{span}(v, w) W=span(v,w)中，线性变换 Q Q Q的效果是逆时针旋转 θ \theta θ. 熟知这可以用旋转矩阵 R θ = ( c − s s c ) R_\theta = \begin{pmatrix} c & -s \\ s & c \end{pmatrix} Rθ=(cs−sc)给出，其中 c = cos θ , s = sin θ c=\cos \theta,\; s= \sin \theta c=cosθ,s=sinθ. 而全部与 R θ R_\theta Rθ 乘法可交换的矩阵都是像 A a , b = ( a − b b a ) A_{a, b}=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} Aa,b=(ab−ba)的形式。这些矩阵在全部2阶矩阵构成的线性空间中，组成了一个2维子空间。
在 V V V中， W W W的正交补 W ⊥ W^\perp W⊥是 8 8 8维的。在 W ⊥ W^\perp W⊥中进行任何的线性变换，都与 Q Q Q乘法可交换。所以所求的线性子空间维数是 8 × 8 + 2 = 66 8\times 8 + 2=66 8×8+2=66维。
注意：如果把10维改为一般的 n ( ≥ 2 ) n (\geq 2) n(≥2)维，那么答案是 ( n − 2 ) 2 + 2 (n-2)^2 + 2 (n−2)2+2维.
第11题： 10 10 10阶矩阵 A A A满足每行恰有 5 5 5个 1 1 1 和 5 5 5 个 0 0 0，且使得 A 2 + 5 A A^2+5A A2+5A是一个全部元素均为 5 5 5的矩阵. 问这样的矩阵 A A A有多少个？
解：(1) A A A的对角元不能是 1 1 1, 所以只能是 0 0 0. 这是因为如果 A A A有一个对角元是 1 1 1, A 2 + 5 A A^2+5A A2+5A相应的对角元就至少是 6 6 6.
(2) 用 J 2 n J_{2n} J2n表示元素全部是 1 1 1的 2 n 2n 2n阶方阵。从 A 2 + 5 A = 5 J 10 A^2+5A=5J_{10} A2+5A=5J10可知，如果 A A A的第 ( i , j ) (i,j) (i,j)位置是 1 1 1, 则 A 2 A^2 A2的第 ( i , j ) (i,j) (i,j)位置是 0 0 0; 如果 A A A的第 ( i , j ) (i, j) (i,j)位置是 0 0 0, 则 A 2 A^2 A2的第 ( i , j ) (i, j) (i,j)位置是 5 5 5. 由此可知， A A A的第 k k k列中 1 1 1的位置与 A A A的第 k k k行中 1 1 1的位置相同，所以 A A A是对称矩阵。
（3）从等式 A 2 + 5 A = 5 J 10 A^2+5A=5J_{10} A2+5A=5J10以及 A = A ⊤ A=A^\top A=A⊤可见，只要 A A A的第一行确定了，那么 A 2 A^2 A2的第一行， A A A的第一列也就确定了，从而 A A A的其它行也随之确定.
所以，只要 A A A的第一行确定了， A A A就被确定了。想要确定 A A A的第一行，只需要把 5 5 5个 1 1 1放到非对角线的位置（共 9 9 9个位置可选）。这等价于说把剩下的 4 4 4个 0 0 0放到第一行剩下的 9 9 9个位置。所以不同的 A A A共有 ( 9 5 ) = ( 9 4 ) = 126 \binom{9}{5}=\binom{9}{4}=126 (59)=(49)=126个.
注意：如果题目条件改为“ 2 n 2n 2n阶方阵 A A A满足 A 2 + n A = n J 2 n A^2+nA=nJ_{2n} A2+nA=nJ2n, 且 A A A的每行恰有 n n n个 0 0 0与 n n n个 1 1 1”. 则这样的方阵共有 ( 2 n − 1 n ) = ( 2 n − 1 n − 1 ) \binom{2n-1}{n}=\binom{2n-1}{n-1} (n2n−1)=(n−12n−1)个.