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转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵关系以及python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角之间转换

news 2025/7/1 17:46:09

文章目录

1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系
2. 缩放变换、平移变换和旋转变换
2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化

由于在平时总是或多或少的遇到平移旋转的问题，每次都是现查资料，然后查了忘，忘了继续查，这次弄明白之后干脆写一篇文章，给人方便同时于己方便，后续如有扩充或变动也方便添加。

1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系

假设有两个向量 $a_1 = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $a_2 = (x_2, y_2, z_2)$ ，它们的转换关系为：

$a_1 = R * a_2 + T$
这里 $R$ 就是它的旋转矩阵， $T$ 就是它的平移矩阵。使用齐次方式表示如下：

$(a11)=(RT01)∗(a21)\begin{pmatrix} a_1\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} R&T\\ 0&1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} a_2\\1 \end{pmatrix}$
使用元素值替换后，表示如下：
$(x1y1z11)=(r11r12r13t1r21r22r23t2r31r32r33t30001)∗(x2y3z21)\begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x_2\\y_3\\z_2\\1 \end{pmatrix}$
在仿射变换中的转换矩阵表示先线性变换再平移。在这里转换矩阵表示如下：
$\begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$
平移矩阵表示如下：
$平移矩阵T=(t1t2t3)平移矩阵T=\begin{pmatrix} t_{1}\\ t_{2}\\ t_{3}\\ \end{pmatrix}$
旋转矩阵表示如下：
$旋转矩阵R=(r11r12r13r21r22r23r31r32r33)旋转矩阵R=\begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33} \end{pmatrix}$

2. 缩放变换、平移变换和旋转变换

如果理解以上知识点之后，缩放变换、平移变换和旋转变换的特殊情况也迎刃而解。

缩放变换

缩放变换只是在尺度上进行改变，所以它的变换形式如下：

在这里插入图片描述

平移变换

平移变换的时候，角度不发生改变，也就是旋转矩阵R为单位矩阵，所以它的变换形式如下：

在这里插入图片描述

旋转变换

当空间内的物体绕着 x 轴，y 轴或者 z 轴旋转的时候，变换矩阵为：

在这里插入图片描述
对于一般性的旋转问题，可以用简单的旋转描述复杂的旋转。用 x 轴，y 轴和 z 轴上的旋转来定义旋转：

在这里插入图片描述
这三个角就被称作欧拉角（Euler angles）。

一目了然
这个也不错

2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化

在应用中，我们往往会遇到旋转矩阵、四元数和欧拉角之间的互相转换，在这里，我们只使用python代码来实现它们之间互相转换。

from scipy.spatial.transform import Rotation as Rdef quaternion2euler(quaternion):r = R.from_quat(quaternion)euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)return eulerdef euler2quaternion(euler):r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)quaternion = r.as_quat()return quaterniondef euler2rotation(euler):r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True)rotation_matrix = r.as_matrix()return rotation_matrixdef quaternion2rotation_matrix(quaternion):r = R.from_quat(quaternion)rotation_matrix = r.as_matrix()return rotation_matrixdef rotation_matrix2euler(rotation_matrix):r = R.from_matrix(rotation_matrix)euler = r.as_euler('xyz', degrees=True)return eulerdef rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix):r = R.from_matrix(rotation_matrix)quaternion = r.as_quat()return quaternionif __name__ == '__main__':# 四元数=>欧拉角quaternion = [0.71934025092983234, -1.876085535681999e-06, -3.274841213980097e-08, -0.69465790385533299]euler = quaternion2euler(quaternion) # [-9.20000743e+01  1.52039496e-04 -1.52039496e-04]print(f'euler: {euler}')# 四元数=>旋转矩阵rotation_matrix = quaternion2rotation_matrix(quaternion)print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')# 欧拉角=>四元数quaternion = euler2quaternion(euler)print(f'quaternion: {quaternion}') # [-7.19340251e-01  1.87608554e-06  3.27484122e-08  6.94657904e-01]# 欧拉角=>旋转矩阵rotation_matrix = euler2rotation(euler)print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}')# 旋转矩阵=>欧拉角euler = rotation_matrix2euler(rotation_matrix)print(f'euler: {euler}')# 旋转矩阵=>四元数quaternion = rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix)print(f'quaternion: {quaternion}')