用不均匀硬币实现公平决策
题目内容
有一个硬币不均匀，正面朝上70%，反面朝上30%。现在我们2个人出去吃饭，希望通过这枚硬币公平决策出谁买单，该如何决策？平均抛多少次可以决策出？
决策方法
这是一个关于利用不均匀硬币实现公平决策的概率问题。
抛掷硬币两次，按以下规则决定：
- 第一次正第二次反（概率0.7×0.3=0.21）：A赢
- 第一次反第二次正（概率0.3×0.7=0.21）：B赢
- 其他情况（概率1-0.42=0.58）：重新抛
这样设计保证了双方获胜概率均为21%，完全公平。
期望抛掷次数计算：
设期望次数为E，建立方程：
E = 0.42×2（成功） + 0.58×(2+E)（需要重抛）
展开得：
E = 0.84 + 1.16 + 0.58E
移项得：
0.42E = 2
解得：
E ≈ 4.76次推导验证：
每次尝试需要抛2次，成功率42%
期望尝试次数 = 1/0.42 ≈ 2.38次
因此总期望次数 = 2.38×2 ≈ 4.76次
这个方案巧妙地利用两次抛掷的排列组合，抵消了硬币的不均匀性，实现了公平决策。
进一步解释
期望次数是什么意思？
期望次数（Expected Number of Trials）是指在概率问题中，为了达到某个目标（如成功决策谁买单），平均需要进行的尝试次数。它是一个长期统计的平均值，而不是某一次具体实验的结果。
为什么需要计算期望次数？
在这个问题中，由于硬币不均匀（正70%，反30%），直接抛一次会导致决策不公平。因此，我们采用抛两次硬币的策略：
- 正反（P=0.7×0.3=0.21） → A赢
- 反正（P=0.3×0.7=0.21） → B赢
- 正正或反反（P=0.7²+0.3²=0.58） → 重新抛
由于每次尝试（抛两次）有 42% 的成功概率（0.21+0.21），所以平均需要 1/0.42 ≈ 2.38 次尝试才能成功决策。
而每次尝试需要抛 2 次硬币，因此 期望总抛掷次数 ≈ 2.38 × 2 ≈ 4.76 次。
数学推导
设期望次数为 E，则：
- 成功（42%概率） → 只需抛 2 次
- 失败（58%概率） → 已经抛了 2 次，仍需再抛 E 次
因此，建立方程：E=0.42×2+0.58×(2+E)
解得：E=4.76 次
总结
- 期望次数 ≈ 4.76 次，表示长期来看，平均需要抛 4.76 次硬币才能公平决定谁买单。
- 期望（Expected Value）是概率论中的核心概念，用于衡量长期实验的平均结果。