PyTorch ：三角函数与特殊运算

PyTorch ：三角函数与特殊运算

在深度学习中，除了基础的加减乘除，还会频繁用到三角函数（如 sin、cos）、特殊函数（如 sigmoid、abs）等。这些函数是构建复杂模型（如物理仿真、激活函数设计）的基础。本文将系统讲解 PyTorch 中张量相关的三角函数和常用特殊函数，涵盖函数原型、参数、示例及分析。

一、三角函数：从基础到双曲

三角函数用于处理角度与边长的关系，PyTorch 提供了完整的三角函数支持，包括基础三角函数（sin、cos 等）和双曲三角函数（sinh、cosh 等）。

1. 基础三角函数

（1）torch.sin(input, out=None)：正弦函数

• 数学定义：计算张量中每个元素的正弦值，${\text{out}}_i=\sin ({\text{input}}_i)$。
• 参数：
  • input：输入张量（元素通常为弧度值）。
  • out（可选）：输出张量，存储结果。
• 值域：$[-1,1]$。

代码示例：

import torchx = torch.tensor([0, torch.pi/2, torch.pi], dtype=torch.float32)
result = torch.sin(x)
print("输入张量 x:", x)
print("sin(x) 结果:", result)

运行结果：

输入张量 x: tensor([0.0000, 1.5708, 3.1416])
sin(x) 结果: tensor([0.0000, 1.0000, 0.0000])

结果分析：

• $sin(0)=0$，$\sin (\pi /2)=1$，$\sin (\pi )=0$，与数学定义一致。
• 输入需为弧度值（如 torch.pi 表示圆周率 $\pi$）。

（2）torch.cos(input, out=None)：余弦函数

• 数学定义：计算张量中每个元素的余弦值，${\text{out}}_i=\cos ({\text{input}}_i)$。
• 参数：同 torch.sin。
• 值域：$[-1,1]$。

代码示例：

x = torch.tensor([0, torch.pi/2, torch.pi], dtype=torch.float32)
result = torch.cos(x)
print("cos(x) 结果:", result)

运行结果：

cos(x) 结果: tensor([ 1.0000,  0.0000, -1.0000])

结果分析：

• $\cos (0)=1$，$\cos (\pi /2)=0$，$\cos (\pi )=-1$，符合数学规律。

（3）torch.tan(input, out=None)：正切函数

• 数学定义：计算张量中每个元素的正切值，${\text{out}}_i=\tan ({\text{input}}_i)=\sin ({\text{input}}_i)/\cos ({\text{input}}_i)$。
• 参数：同 torch.sin。
• 注意：当输入为 $ \pi/2 + k\pi$（(k) 为整数）时，正切值会趋近于无穷大（inf）。

代码示例：

x = torch.tensor([0, torch.pi/4, torch.pi/2 - 0.1], dtype=torch.float32)
result = torch.tan(x)
print("tan(x) 结果:", result)

运行结果：

tan(x) 结果: tensor([0.0000, 1.0000, 9.9666])

结果分析：

• $\tan (0)=0$，$\tan (\pi /4)=1$，$\tan (\pi /2-0.1)\approx 10$（因 $\pi /2$ 附近正切值陡峭）。

2. 反三角函数

（1）torch.asin(input, out=None)：反正弦函数

• 数学定义：计算张量中每个元素的反正弦值，${\text{out}}_i=\arcsin ({\text{input}}_i)$。
• 参数：同 torch.sin。
• 定义域：$[-1,1]$，超出范围会返回 nan。
• 值域：$[-\pi /2,\pi /2]$（弧度）。

代码示例：

x = torch.tensor([-1.0, 0.0, 1.0], dtype=torch.float32)
result = torch.asin(x)
print("asin(x) 结果:", result)

运行结果：

asin(x) 结果: tensor([-1.5708,  0.0000,  1.5708])

结果分析：

• $\arcsin (-1)=-\pi /2$，$\arcsin (0)=0$，$\arcsin (1)=\pi /2$，符合数学定义。

（2）torch.acos(input, out=None)：反余弦函数

• 数学定义：计算张量中每个元素的反余弦值，${\text{out}}_i=\arccos ({\text{input}}_i)$。
• 参数：同 torch.sin。
• 定义域：[-1, 1]，超出范围返回 nan。
• 值域：[0, $\pi$]（弧度）。

代码示例：

x = torch.tensor([-1.0, 0.0, 1.0], dtype=torch.float32)
result = torch.acos(x)
print("acos(x) 结果:", result)

运行结果：

acos(x) 结果: tensor([3.1416, 1.5708, 0.0000])

结果分析：

• $\arccos (-1)=\pi$，$\arccos (0)=\pi /2$，$\arccos (1)=0$，与数学规律一致。

3. 双曲三角函数

双曲函数是三角函数的“双曲版本”，常用于物理、工程等领域（如描述悬链线形状）。

（1）torch.sinh(input, out=None)：双曲正弦函数

• 数学定义：${\text{out}}_i=\sinh ({\text{input}}_i)=\frac{e^{{\text{input}}_i}-e^{-{\text{input}}_i}}{2}$。
• 参数：同 torch.sin。
• 值域：$(-\infty ,+\infty )$。

代码示例：

x = torch.tensor([0.0, 1.0, -1.0], dtype=torch.float32)
result = torch.sinh(x)
print("sinh(x) 结果:", result)

运行结果：

sinh(x) 结果: tensor([ 0.0000,  1.1752, -1.1752])

结果分析：

• $\sinh (0)=0$，$\sinh (1)\approx 1.1752$，$\sinh (-1)=-\sinh (1)$（双曲正弦是奇函数）。

（2）torch.cosh(input, out=None)：双曲余弦函数

• 数学定义：${\text{out}}_i=\cosh ({\text{input}}_i)=\frac{e^{{\text{input}}_i}+e^{-{\text{input}}_i}}{2}$。
• 参数：同 torch.sin。
• 值域：[1, +$\infty$]。

代码示例：

x = torch.tensor([0.0, 1.0, -1.0], dtype=torch.float32)
result = torch.cosh(x)
print("cosh(x) 结果:", result)

运行结果：

cosh(x) 结果: tensor([1.0000, 1.5431, 1.5431])

结果分析：

• $\cosh (0)=1$，$\cosh (1)\approx 1.5431$，$\cosh (-1)=\cosh (1)$（双曲余弦是偶函数）。

二、常用特殊函数：abs、sigmoid、sign

这些函数在深度学习中高频使用（如 sigmoid 作为激活函数，abs 处理绝对值），需重点掌握。

1. torch.abs(input, out=None)：绝对值函数

• 数学定义：计算张量中每个元素的绝对值，${\text{out}}_i=|{\text{input}}_i|$。
• 参数：
  • input：输入张量（支持整数、浮点数）。
  • out（可选）：输出张量，存储结果。
• 用途：处理负数，确保结果非负。

代码示例：

x = torch.tensor([-1, 2, -3.5], dtype=torch.float32)
result = torch.abs(x)
print("输入张量 x:", x)
print("abs(x) 结果:", result)

运行结果：

输入张量 x: tensor([-1.0000,  2.0000, -3.5000])
abs(x) 结果: tensor([1.0000, 2.0000, 3.5000])

结果分析：

• 所有负数的符号被去除，结果为非负，符合绝对值定义。

2. torch.sigmoid(input, out=None)：Sigmoid 函数

• 数学定义：${\text{out}}_i=\frac{1}{1+e^{-{\text{input}}_i}}$。
• 参数：同 torch.abs。
• 值域：$(0,1)$。
• 用途：作为激活函数，将输入映射到 ((0, 1)) 区间，常用于二分类任务（如逻辑回归）。

代码示例：

x = torch.tensor([-1.0, 0.0, 1.0], dtype=torch.float32)
result = torch.sigmoid(x)
print("sigmoid(x) 结果:", result)

运行结果：

sigmoid(x) 结果: tensor([0.2689, 0.5000, 0.7311])

结果分析：

• 当输入为负无穷时，输出趋近于 0；输入为 0 时，输出为 0.5；输入为正无穷时，输出趋近于 1。
• 上述示例中，$\text{sigmoid}(-1)\approx 0.2689$，$\text{sigmoid}(0)=0.5$，$\text{sigmoid}(1)\approx 0.7311$，符合函数曲线。

3. torch.sign(input, out=None)：符号函数

• 数学定义：
• $
  \text{out}_i =
  \begin{cases}
  1, & \text{若 } \text{input}_i > 0 \
  0, & \text{若 } \text{input}_i = 0 \
  -1, & \text{若 } \text{input}_i < 0
  \end{cases}
  $
• 参数：同 torch.abs。
• 用途：提取元素的符号信息（正、负、零）。

代码示例：

x = torch.tensor([-1, 0, 3.5], dtype=torch.float32)
result = torch.sign(x)
print("sign(x) 结果:", result)

运行结果：

sign(x) 结果: tensor([-1.,  0.,  1.])

结果分析：

• 负数返回 -1，零返回 0，正数返回 1，精准提取符号信息。

三、其他特殊函数速览（图二补充）

除上述重点函数外，图二中还包含一些常用特殊函数，这里快速介绍核心功能：

函数名	数学定义/功能	典型用途
torch.erf()	误差函数 $\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$	统计分布、概率计算
torch.neg()	取反运算 ${\text{out}}_i=-{\text{input}}_i$	符号反转
torch.reciprocal()	倒数运算 ${\text{out}}_i=1/{\text{input}}_i$	数值倒数计算
torch.rsqrt()	平方根的倒数 ${\text{out}}_i=1/\sqrt{{\text{input}}_i}$	优化器中的梯度缩放
torch.sign()	符号函数	提取符号信息
torch.lerp()	线性插值 ${\text{out}}_i={\text{input}}_i+\alpha ({\text{end}}_i-{\text{input}}_i)$	动画插值、模型融合
torch.cumsum()	累加和（沿指定维度累加元素）	前缀和计算、累计统计

四、总结：函数分类与应用场景

函数类型	核心函数	典型应用场景
基础三角函数	sin、cos、tan	物理仿真、信号处理
反三角函数	asin、acos	几何计算、角度恢复
双曲三角函数	sinh、cosh	工程建模（如悬链线）
特殊运算	abs（绝对值）	非负处理、误差计算
激活函数	sigmoid	二分类任务、逻辑回归
符号提取	sign	符号信息提取、数据清洗

• 构建复杂的数学模型（如物理系统、概率分布）；
• 设计自定义激活函数（如 sigmoid 变体）；
• 处理数据中的符号、绝对值等特殊需求。