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【科普】贝叶斯神经网络与分形神经网络

news 2025/8/2 8:50:48

贝叶斯神经网络

贝叶斯神经网络（Bayesian Neural Network，BNN）是一类结合了贝叶斯推断与神经网络的模型。它的核心思想是：不像传统神经网络那样学习固定的参数值（即网络权重），BNN 会学习这些参数的概率分布。这样可以更好地量化不确定性，提高模型在不确定环境下的鲁棒性。

🔧 传统神经网络 vs 贝叶斯神经网络

特点	传统神经网络	贝叶斯神经网络
参数（权重）	固定值（点估计）	概率分布
输出	单值预测	预测分布
不确定性表示	没有或依赖于 dropout 等近似方法	内在地建模参数和预测的不确定性
优点	高效、易训练	不确定性建模、可避免过拟合
缺点	不提供置信度	推理成本高、训练复杂

🧠 BNN 的核心思想

BNN 采用贝叶斯公式：

$P(θ∣D)=P(D∣θ)P(θ)P(D)P(\theta | D) = \frac{P(D | \theta) P(\theta)}{P(D)}$

其中：

$θ\theta$ ：模型参数（如网络权重）
$P(θ)P(\theta)$ ：先验分布
$P(D∣θ)P(D|\theta)$ ：似然函数
$P(θ∣D)P(\theta|D)$ ：后验分布

我们不再学习一个确定的 $θ\theta$ ，而是学习其后验分布。

🔁 推理过程

由于后验分布一般不可解析，BNN 常用近似推理方法：

常见推理方法包括：

变分推断（Variational Inference）
用一个简单的分布 $q(θ)q(\theta)$ 去近似真实的后验分布 $P(θ∣D)P(\theta | D)$ 。
马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样
精度高但计算开销大。
贝叶斯 dropout（Monte Carlo Dropout）
在测试时启用 dropout 多次，近似后验采样，简单有效。

✅ BNN 的优势

提供预测的不确定性（例如医疗、自动驾驶中的决策更可靠）
抑制过拟合（通过先验正则）
可与主动学习、强化学习等结合良好

🚫 挑战

训练成本高（需要估计后验分布）
模型复杂度增加
推理速度慢于传统网络

🧪 PyTorch 中的 BNN 示例（简化版）

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as Fclass BayesianLinear(nn.Module):def __init__(self, in_features, out_features):super().__init__()self.w_mu = nn.Parameter(torch.Tensor(out_features, in_features).normal_(0, 0.1))self.w_logvar = nn.Parameter(torch.Tensor(out_features, in_features).normal_(-3, 0.1))def forward(self, x):epsilon = torch.randn_like(self.w_mu)w_sample = self.w_mu + torch.exp(0.5 * self.w_logvar) * epsilonreturn F.linear(x, w_sample)# 用法类似普通神经网络

📚 推荐资源

论文：《Weight Uncertainty in Neural Networks》（Blundell et al., 2015）
库：
- Pyro（PyTorch 上的概率编程框架）
- TensorFlow Probability
- Bayes-by-Backprop

分形神经网络

分形神经网络（Fractal Neural Network, FNN）是一类受自然界分形结构启发的神经网络结构。它的核心理念是：通过自相似（self-similar）结构来构建深度网络，以提高模型的表达能力和泛化能力，同时缓解梯度消失或爆炸等深度网络中的常见问题。

🧠 什么是分形结构？

在数学中，分形（Fractal）是具有自相似性的结构——整体与局部在形态上是相似的。例如：雪花、费尔南德斯三角形、树木、血管等自然结构。

🔧 分形神经网络的核心结构

分形神经网络中，一个典型的模块通过递归组合更小的网络结构来构造大网络，如图：

F(C) = [F(C), F(C)] + C

这意味着：一个大的网络由多个小网络的组合构成，且每个小网络结构和大的结构是一样的（递归自我复制）。

🎯 举例：FractalNet（ICLR 2017）

FractalNet 是一个代表性的分形神经网络架构，由德国波恩大学提出。其特点是：

多个路径、不同深度：网络中的每个分支代表一个不同深度的子网络
自相似结构：使用统一的模块递归构建
drop-path 正则化：训练时随机丢弃某些路径，防止过拟合并增强鲁棒性

🏗️ 构造原理

一个深度为 n 的 Fractal Block 定义为：

$Fn(x)=Concat(Fn−1(Fn−1(x)),Fn−1(x))F_{n}(x) = \text{Concat}(F_{n-1}(F_{n-1}(x)), F_{n-1}(x))$

其中 F_0 是基础卷积模块。

每一层都由前面层的重复结构构建，最终形成“树状结构”。

✅ 优势

优势	说明
多路径学习	类似 ResNet 的跳跃连接，多个深度路径并行
稀疏激活	每个样本可能只激活部分路径，形成类似 ensemble 效果
容易训练	由于浅层路径存在，梯度传导不再依赖太深的网络
自动选择路径	drop-path 类似强化学习中的 policy sampling，可自动选择最优深度

🧪 FractalNet 的 PyTorch 伪代码结构

class FractalBlock(nn.Module):def __init__(self, conv, depth):super().__init__()self.depth = depthif depth == 1:self.block = conv()else:self.left = FractalBlock(conv, depth-1)self.right = FractalBlock(conv, depth-1)def forward(self, x):if self.depth == 1:return self.block(x)else:left = self.left(self.left(x))right = self.right(x)return (left + right) / 2

你可以将 conv() 替换为任意的 CNN 层模块。

🤔 分形神经网络 vs ResNet vs DenseNet

特性	ResNet	DenseNet	FractalNet
跳跃连接	是	是	是（结构性）
多路径结构	否	否	是
自动路径选择	否	否	是（drop-path）
模块构造方式	手动	累积连接	递归分形构造