论文阅读：《多目标和多目标优化的回顾与评估：方法和算法》
前言
提醒：
文章内容为方便作者自己后日复习与查阅而进行的书写与发布，其中引用内容都会使用链接表明出处（如有侵权问题，请及时联系）。
其中内容多为一次书写，缺少检查与订正，如有问题或其他拓展及意见建议，欢迎评论区讨论交流。
内容由AI辅助生成，仅经笔者审核整理，请甄别食用。
文章目录
- 前言
- 多目标与超多目标优化算法技术综述报告
- 优化技术分类概述
- 多目标优化技术
- 经典数学方法（Classical Mathematical Approaches）
- 非帕累托技术（Non - Pareto Techniques）
- 帕累托进化技术（Pareto Evolutionary Techniques）
- 超多目标方法（Many - Objective Approaches）
- 辅助方法（Ancillary Methods）
- 多目标优化基准测试问题分析报告
- ZDT系列测试问题
- DTLZ系列测试问题
- 总结与展望
内容整理自论文：Karami, Farzane & Dariane, Alireza. (2022). A review and evaluation of multi and many-objective optimization: Methods and algorithms. Global Journal of Ecology. 7. 104-119. 10.17352/gje.000070.
多目标与超多目标优化算法技术综述报告
优化技术分类概述
在处理多目标（Multi-objective） 和 超多目标（Many-objective） 优化问题时，研究者通常将优化方法分为以下三大类：
-
多目标优化技术
- a. 数学技术（Mathematical techniques）：基于解析方法或严格的数学模型。
- b. 非Pareto技术（Non-Pareto techniques）：不依赖于Pareto最优性，使用其他标准进行优化。
- c. Pareto技术（Pareto techniques）：基于Pareto最优解集合进行搜索，强调保留解的多样性与非支配性。
-
超多目标优化技术（Many-objective optimization techniques）
专注于目标数目超过三或四个的复杂优化问题，面临解集难以可视化和决策困难的问题。 -
辅助技术（Ancillary techniques）
可用于改进其他优化算法性能的技术，如精英策略、降维方法、解集排序机制等。
多目标优化技术
| 分类 | 具体方法及翻译 |
|---|---|
| 经典数学方法（Classical Mathematical Approaches） | DP（动态规划 ） MOSDP（多目标动态规划 ） |
| 非帕累托技术（Non - Pareto Techniques） | Aggregating Approaches（聚合方法 ） VEGA（向量评估遗传算法 ） Lexicographic Ordering（字典序排序法 ） The ε - Constraint Method（ε约束法 ） Target - Vector Approaches（目标向量法 ） |
| 帕累托进化技术（Pareto Evolutionary Techniques） | Pure Pareto Ranking（纯帕累托排序 ） NSGA, NSGA - II（非支配排序遗传算法、第二代非支配排序遗传算法 ） NPGA（小生境帕累托遗传算法 ） MOCOM - UA（多目标协同进化算法 - 统一近似 ） MOPSO（多目标粒子群优化算法 ） DE（差分进化算法 ） MAGA（多目标遗传算法 ） RPSGA（随机帕累托排序遗传算法 ） MOAQ（多目标蚁群算法 ） ε - MOEA（ε多目标进化算法 ） AMALGAM（一种多目标进化算法，暂无通用准确译名，可直译为“融合算法” ） VEGA + NSGA（向量评估遗传算法 + 非支配排序遗传算法 ） SPEA, SPEA2（强度帕累托进化算法、第二代强度帕累托进化算法 ） PAES, PEAS（帕累托存档进化策略、帕累托进化算法，PEAS 翻译存疑，也可结合具体算法理解 ） |
| 超多目标方法（Many - Objective Approaches） | EMaOEA（一种超多目标进化算法，暂无通用准确译名，可译为“增强多目标进化算法” ） HypE, FV - MOEA（超体积多目标进化算法、FV多目标进化算法，FV 需结合具体算法背景确定准确含义，这里暂译 ） GrEA（基于梯度的进化算法，针对超多目标，暂译 ） NSGA - III（第三代非支配排序遗传算法 ） θ - DEA（θ差分进化算法，θ为特定参数相关，暂译 ） |
| 辅助方法（Ancillary Methods） | Fuzzy - Based Pareto（基于模糊的帕累托方法 ） Set - based（基于集合的方法 ） GPO（通用帕累托优化，暂译，需结合算法背景 ） α - Dominance（α支配 ） SDE（随机微分进化，或结合具体算法为特定含义，暂译 ） DBEA（基于支配的进化算法，暂译，需结合算法背景 ） |
经典数学方法（Classical Mathematical Approaches）
| 类别 | 具体内容 |
|---|---|
| 基础方法及原理 | - 动态规划（DP）：解决多阶段问题的有力优化技术，逐阶段优化递归方程，一次处理一个阶段；确定型场景下，决策基于已知信息，为决策变量分配最优值推进整体优化，如生产调度多阶段决策。 - 随机动态规划（SDP）：同样用于多阶段问题，区别在于随机场景中，决策依据变量的概率分布 |
| 多目标拓展方法（MODP与MOSDP） | - 发展基础：基于单目标DP和SDP发展而来，用于解决涉及顺序或多阶段决策的问题。 - 目标处理：一个目标作为主要目标，其余为次要目标；使用两类状态变量，一类代表主要目标函数（主状态变量 ），另一类代表系统次要目标（次状态变量 ） ，特定组合次状态变量可优化主目标，且次状态变量水平不会逐阶段变化 。 - 其他处理方式：可通过目标函数加权聚合处理MODP和MOSDP问题，将多目标转化为加权后单目标求解 |
| 应用价值 | - 为多阶段多目标决策问题（如资源分配、项目规划等）提供有效解决路径，清晰区分主、次目标，借助状态变量刻画系统目标，辅助决策者梳理决策逻辑，推导最优决策序列 |
| 局限性 | - 状态变量维度困境：状态变量离散化制约优化性能，问题复杂度提升时，状态变量数量剧增，增加计算量与存储需求，影响效率与可行性。 - 模糊性处理不足：实际场景常存模糊、不确定信息，传统方法难以直接处理，虽有模糊动态规划（FDP ）提出，但未成为成熟通用模式。 - 计算成本高昂：因维度诅咒，基于DP的方法计算成本高，多阶段、多状态变量下计算量指数级增长，现有资源与算法效率难支撑大规模复杂问题 |
非帕累托技术（Non - Pareto Techniques）
非帕累托技术是多目标优化领域中一类将多目标问题转化为单目标问题求解的方法，虽实现简单，但存在无法生成帕累托前沿部分区域的局限。以下对各类非帕累托技术进行梳理分析。
| 技术名称 | 核心原理 | 数学模型/关键流程 | 优缺点分析 |
|---|---|---|---|
| 加权聚合方法（Weighted aggregation method） | 依据目标重要性，通过加权聚合将多个目标函数合并为一个整体目标函数 | Max∑i=1mwjFj(x)Max\sum_{i = 1}^{m}w_{j}F_{j}(x)Max∑i=1mwjFj(x)，其中MMM为目标数量；约束：gi(x)≤o,i=1,…,kg_{i}(x) \leq o, i = 1, \dots, kgi(x)≤o,i=1,…,k；wj≥0,j=1,…,mw_{j} \geq 0, j = 1, \dots, mwj≥0,j=1,…,m | 优点：是最简单的优化算法，改变权重可使帕累托前沿近似更准确 。 缺点：解很大程度依赖假设的权重；多种权重组合可能导向相同帕累托解，浪费计算时间；无法识别帕累托集中的凹性 |
| ε - 约束方法（ε - Constraint method） | 将除最偏好（或主要）目标外的所有目标纳入约束集，优化剩余目标；通过递增约束值、重复模型，直至充分呈现帕累托前沿 | 无特定统一数学式，核心是约束构建与迭代优化流程 | 优点：能逐步探索帕累托前沿；结合模糊集应用可拓展场景适配性 。 缺点：流程相对繁琐，需多次迭代调整约束 |
| 目标规划（Goal Programming, GP） | 将所有目标纳入约束集，聚合解与目标（期望达成的目标）间差异作为要最小化的目标函数；加权GP方法会对差异进行加权聚合 | 无特定单一数学式，核心是差异聚合与最小化 | 优点：可灵活处理多目标与期望目标的契合度，衍生多种变体（如 preemptive GP、min - max GP 等 ）适配不同场景 。 缺点：变体众多，需根据场景选合适类型，增加应用复杂度 |
| 字典序排序（Lexicographic ordering） | 要求用户按重要性纳入目标优先级，从最重要目标开始，优化后转为后续优化阶段的约束，依目标指定顺序推进 | 无特定数学式，核心是优先级设定与逐次约束转换 | 优点：能体现目标优先级，清晰按重要性优化 。 缺点：目标数量大时不适用；性能受预先定义的目标排序影响 |
| VEGA（Vector Evaluated Genetic Algorithm） | 基于简单遗传算法（GA），通过选择算子区分；每一代按各目标函数依次比例选择生成子种群，合并子种群后应用交叉和变异算子 | 初始种群规模MMM分为kkk个子种群（规模M/kM/kM/k，kkk为目标函数数量 ）；合并子种群后应用遗传操作 | 优点：利用遗传算法机制探索多目标解 。 缺点：生成的解不一定全局非支配（因选择单目标优异个体，未综合考量多目标 ）；合并子种群类似聚合技术，存在加权方法的缺陷 |
帕累托进化技术（Pareto Evolutionary Techniques）
帕累托技术是多目标优化领域的重要方法体系，基于帕累托前沿，利用非支配排序和选择引导种群逼近最优解，同时借助特殊算子维持种群多样性。
帕累托技术核心原理与基础机制
（一）核心逻辑
基于帕累托前沿，通过非支配排序确定种群中解的优劣层级，优先选择支配秩低的解；运用适应度共享、拥挤距离、基于单元的密度技术等特殊算子，维持种群多样性，避免算法早熟或陷入局部最优 。例如，适应度共享通过惩罚拥挤区域个体，引导算法探索未开发区域；拥挤距离计算解与其相邻解在各目标轴上的平均距离，优先选择距离大（分布广 ）的解 。
（二）关键算子解析
| 算子类型 | 计算方式与作用 | 局限 |
|---|---|---|
| 适应度共享 | d(x,y)=∑k=1K(zk(x)−zk(y)maxk=1Kzk−mink=1Kzk)2d(x,y)=\sqrt{\sum_{k = 1}^{K}(\frac{z_{k}(x)-z_{k}(y)}{max_{k = 1}^{K}z_{k}-min_{k = 1}^{K}z_{k}})^2}d(x,y)=∑k=1K(maxk=1Kzk−mink=1Kzkzk(x)−zk(y))2、nc(x,t)=∑max{δshare−d(x,y)δshare,0}nc(x,t)=\sum max\{\frac{\delta_{share}-d(x,y)}{\delta_{share}},0\}nc(x,t)=∑max{δshareδshare−d(x,y),0}、f′(x,t)=f(x,t)nc(x,t)f'(x,t)=\frac{f(x,t)}{nc(x,t)}f′(x,t)=nc(x,t)f(x,t) 惩罚拥挤区域个体，鼓励探索新区域，形成子种群 | 难提前确定共享半径；不同阶段共享半径需一致，缺乏灵活性 |
| 拥挤距离 | cdk(X[i,k]k)=Zk(X[i+1,k]k)−Zk(X[i−1,k]k)Zkmax−Zkmincd_{k}(X_{[i,k]}^{k})=\frac{Z_{k}(X_{[i + 1,k]}^{k})-Z_{k}(X_{[i - 1,k]}^{k})}{Z_{k}^{max}-Z_{k}^{min}}cdk(X[i,k]k)=Zkmax−ZkminZk(X[i+1,k]k)−Zk(X[i−1,k]k)、cd(x)=∑kcdk(x)cd(x)=\sum_{k}cd_{k}(x)cd(x)=∑kcdk(x) 计算解与相邻解在目标轴的平均距离，优先选距离大的解，提升种群分布性 | 仅考虑相邻解局部信息，对全局分布把控有限 |
| 基于单元的密度算子 | 将目标空间划分为单元，单元密度为内部个体数，优先选密度低的解 | 单元划分依赖经验，影响算法效果 |
典型帕累托技术算法梳理
| 算法类别 | 算法名称 | 核心特点 | 优势 | 不足 |
|---|---|---|---|---|
| （一） | NSGA | 早期基于进化的多目标算法，通过非支配排序处理多目标 | - | 计算复杂度高、缺乏精英保留机制、需指定共享参数 |
| NSGA-II | NSGA的改进版，引入精英保留；父代与子代合并后按非支配层级和拥挤距离排序，选优质解进入下一代 | 精英保留机制提升性能，在多目标优化中应用广泛 | 对共享因子敏感 | |
| （二） | NPGA | 扩展遗传算法，结合帕累托支配排序和适应度共享（小生境）；通过锦标赛竞争施加选择压力 | 帕累托排序不针对整个种群，减少计算量 | 需确定锦标赛规模和适应度共享参数，参数影响大 |
| （三） | MMGA | 宏观进化多目标遗传算法，用连接矩阵WWW动态比较个体适应度和相似度，替换选择算子；通过hi(t)=∑j=1NWi,j(t)h_i(t)=\sum_{j = 1}^{N}W_{i,j}(t)hi(t)=∑j=1NWi,j(t)、Sj(t+1)={1ifhj(t)≥0,alive0otherwise,extinctS_{j}(t + 1)=\begin{cases}1 & if\ h_{j}(t)\geq0, alive \\ 0 & otherwise, extinct \end{cases}Sj(t+1)={10if hj(t)≥0,aliveotherwise,extinct筛选个体 | 具备多样性保持能力，低计算时间和资源需求，适合复杂问题 | 参数要求多 |
| （四） | RPSGA | 缩减帕累托集遗传算法，后续发展出带精英保留的RPSGAe，用聚类方法降参 | - | 结构更复杂 |
| MOCOM-UA | 多目标复杂进化算法，按支配关系排序个体，生成新解后与存档比较并替换劣势解 | 适合并行处理，能为水文建模等提供帕累托前沿 | 应用场景待拓展，参数多易早熟 | |
| （五） | MOPSO | 多目标粒子群优化算法，结合帕累托支配原则和粒子群优化；位置更新公式Xit+1=Xit+Vit+1X_{i}^{t + 1}=X_{i}^{t}+V_{i}^{t + 1}Xit+1=Xit+Vit+1，速度更新公式Vit+1=wVit+c1r1(pbesti−Xit)+c2r2(gbestt−Xit)V_{i}^{t + 1}=wV_{i}^{t}+c_{1}r_{1}(pbest_{i}-X_{i}^{t})+c_{2}r_{2}(gbest_{t}-X_{i}^{t})Vit+1=wVit+c1r1(pbesti−Xit)+c2r2(gbestt−Xit) | 流行度高 | 易早熟、陷入局部最优，多目标场景难定义全局最优，需结合非支配排序、外部存档等策略改进 |
| （六） | DE | 差分进化算法，步骤含初始化、变异、重组、选择；变异算子对种群多样性影响大 | 参数少，适合高维复杂问题 | 收敛慢、易陷入局部最优，需结合改进策略（如融合ε\varepsilonε-支配概念） |
| （七） | MOAQ | 模拟蚂蚁行为的多目标蚁群算法，为每个目标函数构建智能体家族，更新信息素，维护帕累托集 | 高效省时 | 性能依赖目标数和蚂蚁数，应用场景有限 |
| （八） | AMALGAM | 动态结合多种元启发式算法，通过公式Nt+1j=N(St+1jNtj∑h=1kSt+1hNth)N_{t + 1}^{j}=N(\frac{\frac{S_{t + 1}^{j}}{N_{t}^{j}}}{\sum_{h = 1}^{k}\frac{S_{t + 1}^{h}}{N_{t}^{h}}})Nt+1j=N(∑h=1kNthSt+1hNtjSt+1j)计算子算法后代数量 | 融合多种算法长处 | 子算法后代划分及inferior子算法处理需优化，维度增加时性能待验证 |
| （九） | VEGA-NSGA | 结合NSGA-II和VEGA思想，初始种群按目标数划分子种群，依次优化，通过遗传操作和合并生成新种群 | 对共享因子不敏感，避免NSGA相关问题 | 子种群划分和迭代流程较复杂 |
| （十） | SPEA | 用聚类技术估计个体拥挤度，初始化种群和空存档，计算个体强度值S(i)S(i)S(i)和适应度值F(j)F(j)F(j)，通过二进制锦标赛选择生成后代 | - | 聚类技术易丢失边缘解，存档含单个个体时类似随机搜索 |
| SPEA2 | 改进SPEA，为存档个体分配强度值S(i)S(i)S(i)和种群PiP_iPi，通过S(i)=∣{j∣j∈Pi∪P^i,i≻j}∣S(i)=\vert\{j\vert j\in P_{i}\cup\hat{P}_{i}, i\succ j\}\vertS(i)=∣{j∣j∈Pi∪P^i,i≻j}∣、R(i)=∑j∈Pi∪P^i,j≻iS(j)R(i)=\sum_{j\in P_{i}\cup\hat{P}_{i}, j\succ i}S(j)R(i)=∑j∈Pi∪P^i,j≻iS(j)计算原始适应度，考虑个体近邻密度估计 | 解决SPEA缺陷，提升解分布性和算法稳定性 | - | |
| （十一） | PAES | 局部搜索算法，划分目标空间为超盒，后代与动态更新的存档比较，依据超盒拥挤度决定存档更新 | - | 流程需判断存档状态、个体拥挤区域等，控制逻辑复杂 |
| PEAS | PAES的种群版本，允许每个超盒存在多个个体，拓展处理多解能力 | 更适配大规模多目标优化场景 | 超盒管理和个体交互逻辑复杂，需精细设计 |
超多目标方法（Many - Objective Approaches）
超多目标优化（Many - objective optimization ）近年受关注度持续攀升，当目标数超四个时，非支配解占比急剧上升，致帕累托最优性对进化过程选择压力显著降低，同时高维目标空间可视化、获取优质帕累托前沿表示也面临挑战。本文梳理超多目标优化技术及辅助方法，剖析其原理、应用与局限。
超多目标优化技术
| 算法名称 | 核心思想 | 关键技术/公式 | 优势 | 不足 | 相关扩展/改进 |
|---|---|---|---|---|---|
| EMaOEA | 结合帕累托支配选择、多样性维护和精英策略，并行运行不同超多目标进化算法，通过合并子代亚种群维持交互；可结合机器学习切换算法 | 并行运行多算法+信息共享；基于机器学习的算法性能预测与切换 | 提升对不同问题的适配性，综合多算法优势 | 信息共享方案较简单；机器学习预测性能依赖数据质量和模型精度 | - |
| HypE | 基于超体积（HV）指标，采用蒙特卡洛模拟近似超体积值，解决高维目标下HV计算成本指数增长问题 | 蒙特卡洛模拟近似超体积；快速超体积指标（FV-MOEA）通过关联部分解计算贡献 | 对帕累托支配完全敏感，适用于高维目标优化；降低HV计算复杂度 | 蒙特卡洛模拟存在近似误差；FV-MOEA算法结构相对复杂 | 快速超体积指标多目标进化算法（FV-MOEA） |
| GrEA | 基于网格方法增强选择压力并维持解的均匀分布，通过网格相关指标评估个体适应度 | 网格上下界：lbk=mink(P)−(maxk(P)−mink(P))/(2⋅ndiv)lb_k = min_k(P) - (max_k(P) - min_k(P))/(2 \cdot ndiv)lbk=mink(P)−(maxk(P)−mink(P))/(2⋅ndiv)，ubk=maxk(P)+(maxk(P)−mink(P))/(2⋅ndiv)ub_k = max_k(P) + (max_k(P) - min_k(P))/(2 \cdot ndiv)ubk=maxk(P)+(maxk(P)−mink(P))/(2⋅ndiv)；网格宽度：dk=(ubk−lbk)/ndivd_k = (ub_k - lb_k)/ndivdk=(ubk−lbk)/ndiv；网格位置：Gk(x)=(int)(Fk(x)−lbk)/dkG_k(x) = (int)(F_k(x) - lb_k)/d_kGk(x)=(int)(Fk(x)−lbk)/dk；评估标准：网格排名（GR）、网格坐标点距离（GCPD）、网格拥挤距离（GCD） | 增强向最优方向的选择压力，同时保证解的多样性分布 | 需手动设置网格划分数量（ndiv）；未研究种群规模对算法性能的影响 | - |
| NSGA-III | 在NSGA-II基础上改进，通过单位超平面上预定义参考点集HHH确保解的多样性，适用于超多目标问题 | 参考点关联：确定理想点→归一化目标值→计算垂直距离；按参考点niche计数选择个体 | 适用于最多15个目标函数的问题，多样性维护能力强 | 对少于3个目标的优化问题效果不佳；参考点划分数量（PPP）的影响未明晰 | U-NSGA-III、自适应变异算子改进版等 |
| θ\thetaθ-DEA | 基于θ\thetaθ-支配的选择机制，增强NSGA-III在高维目标空间的收敛能力，继承多样性维护优势 | θ\thetaθ-支配选择；种群聚类；归一化目标空间（以理想点为原点）操作 | 提升高维目标空间中种群向帕累托前沿（PF）的收敛能力；保留多样性优势 | θ\thetaθ参数需由决策者手动定义，增加实际应用复杂度 | - |
辅助方法（Ancillary Methods）
| 算法名称 | 核心思想 | 关键技术/公式 | 优势 | 不足 | 相关扩展/改进 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fuzzy-based Pareto | 引入模糊逻辑定义模糊帕累托支配关系，处理多目标优化中的数据不确定性 | - 模糊集理论嵌入遗传算法（GA）； - 左高斯函数量化支配程度（He等） | 支持决策者自主设定风险接受水平，适配不确定性场景 | 模糊函数的选择对算法性能至关重要（需专家经验或调参） | Eshtehardian的模糊GA（处理不连续模糊时间成本模型） |
| Set-based | 将原始多目标问题转化为双目标优化问题（超体积 + 决策者偏好），动态引导搜索 | - 合意性函数归一化：di(fi(x))=exp(−exp(ai+bi⋅fi(x)))d_i(f_i(x)) = \exp(-\exp(a_i + b_i \cdot f_i(x)))di(fi(x))=exp(−exp(ai+bi⋅fi(x)))； - 基于集合的遗传算法（Gong等）、S-MOPSO（Sun等） | 动态调整偏好区域，改善帕累托前沿的收敛性和分布均匀性 | 计算复杂度高（需处理目标范围、偏好区域及双目标转换） | Sun改进的集合进化多目标粒子群算法（S-MOPSO） |
| GPO（Generalized Pareto Optimality） | 推广帕累托最优性（对称/非对称扩展），扩大解的支配区域 | 理论层面扩展帕累托最优的支配定义（无显式公式，侧重理论推广） | 提升多目标进化算法（MOEAs）的可扩展性，灵活调整选择压力 | 理论抽象，理解和工程实现难度大 | - |
| α\alphaα-Dominance | 通过**α\alphaα参数修改适应度**，允许解在部分目标稍劣时支配其他解 | 相对适应度向量：t(x,z)=fi(x)−fi(z)+∑i≠jαij(fj(x)−fj(z))t(\mathbf{x}, \mathbf{z}) = f_i(\mathbf{x}) - f_i(\mathbf{z}) + \sum_{i\neq j}\alpha_{ij}(f_j(\mathbf{x}) - f_j(\mathbf{z}))t(x,z)=fi(x)−fi(z)+∑i=jαij(fj(x)−fj(z)) | 增强选择压力的灵活性，适配“部分目标牺牲、全局更优”的场景 | α\alphaα值需精细调参（过大/过小均会导致收敛偏差） | - |
| SDE（Shift-Based Density Estimation） | 对收敛差的个体，通过“移入拥挤区域”降低其选择概率，优化种群进化方向 | 密度估计后，按收敛性比较结果移动个体位置（无显式公式，侧重策略） | 解决“收敛差个体因密度低被优先选择”的问题，引导种群向优进化 | 密度估计和位置移动增加计算开销 | - |
| DBEA（Decomposition Based Evolutionary Algorithm） | 采用分解策略处理超多目标问题，适配不同数量级目标 | - 缩放方法处理目标数量级差异； - DBEA-Eps（带ϵ\epsilonϵ水平比较）、I-DBEA（改进版） | 提升超多目标场景下的算法性能，支持非均匀目标分布 | 分解策略导致计算复杂度高（尤其高维目标） | DBEA-Eps（带ϵ\epsilonϵ水平的分解算法）、I-DBEA（改进版） |
| Social Choice | 结合社会选择（SC）理论和旋律搜索（MeS），推导群体决策的“社会排序” | 社会选择程序（群体决策工具，推导社会偏好排序；无显式公式，侧重框架） | 可处理任意多目标，无额外计算负担和算法复杂度 | 要求个体福利满足特定假设（如传递性），依赖定性/少信息场景的合理性 | Dariane和Karami的SC-MeS算法（超多目标优化适配） |
多目标优化基准测试问题分析报告
基准测试问题是评估多目标优化算法性能的核心工具，理想的测试问题需满足以下条件：易于描述、理解与可视化，便于算法实现，且最优解（帕累托最优前沿 ）可预先知晓 ，为算法性能对比提供统一、可复现的标准场景。
下图为ZDT问题与DTLZ问题总结图：
ZDT系列测试问题
（一）基本情况
由Zitzler等人创建，包含6个测试问题（ZDT1 - ZDT6 ），是多目标优化领域应用广泛的经典基准。其函数构造围绕双目标展开，通过不同的函数形式（如ZDT1中f1=y1f_1 = y_1f1=y1、g=1+9∑l=1kzl/kg = 1 + 9\sum_{l = 1}^{k} z_l / kg=1+9∑l=1kzl/k、h=1−f1/gh = 1 - \sqrt{f_1 / g}h=1−f1/g），模拟多目标优化中目标冲突、帕累托前沿形态差异等场景 。
（二）应用价值与局限
- 应用价值：大量研究借助ZDT问题评估算法，为新算法与已有算法的对比提供基础，推动多目标优化算法在双目标场景下的发展与创新，助力科研人员快速验证算法逻辑（如收敛性、多样性维持 ）。
- 局限：仅涉及双目标优化，无法满足超多目标优化算法（MaOEA ）的测试需求。当目标数量超过4个时，优化过程面临选择压力急剧下降、高维目标空间可视化困难等新挑战，ZDT的双目标设定无法复现这些特性，限制了对超多目标算法的有效评估 。
DTLZ系列测试问题
（一）基本情况
由Deb等人开发，是多目标优化测试的重要突破。该系列支持目标数量（MMM）灵活扩展（可用于超多目标场景，M≥3M\geq3M≥3），通过复杂的函数构造（如DTLZ1中多变量乘积、三角函数组合，f1=(1+g)0.5∏m=1M−1ymf_1 = (1 + g)0.5\prod_{m = 1}^{M - 1} y_mf1=(1+g)0.5∏m=1M−1ym等公式 ），模拟超多目标优化中目标交互、约束条件复杂的特性，且已知问题特征和帕累托最优前沿，为算法测试提供可控环境 。
（二）优势与应用
- 优势：弥补ZDT在超多目标测试的空白，允许科研人员深入探究算法在超多目标场景下的性能，如选择压力分配、解多样性维持、高维目标空间搜索能力等。例如，DTLZ3通过修改ggg函数，增加问题复杂度，测试算法应对复杂约束和目标关系的能力 。
- 应用：成为超多目标进化算法（如EMaOEA 、HypE 等 ）评估的核心基准，帮助科研人员量化分析算法在收敛性、多样性等方面的表现，推动超多目标优化算法的迭代升级 。
总结与展望
ZDT系列奠定了双目标优化算法测试的基础，DTLZ系列则拓展至超多目标场景，二者共同构建多目标优化算法的测试体系。但现有基准问题仍需完善，未来可从以下方向发展：一是丰富场景多样性，融入动态目标、噪声干扰、混合变量等实际工程特性；二是强化领域定制化，针对新能源、医疗、工业设计等特定领域，提取典型多目标优化需求，构建定制化基准问题，进一步推动多目标优化算法从理论研究向实际应用转化，更好地服务于复杂系统决策需求 。