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COPRAS（Complex Proportional Assessment）简介与简单示例

news 2025/8/1 18:16:28

前言

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文章目录

前言
- - 一、COPRAS 方法概述
  - 二、核心步骤与公式详解
  - - **1. 输入层：决策矩阵与准则权重**
    - **2. 预处理层：归一化与加权**
    - **3. 准则分类层：区分最大化/最小化**
    - **4. 核心计算层：相对显著性与综合得分**
    - **5. 决策层：排序与选择**
  - 三、关键特点与优势
  - 四、与其他 MCDM 方法的对比
  - 六、应用扩展
  - 总结
简单示例
- - 代码说明：

一、COPRAS 方法概述

COPRAS（Complex Proportional Assessment） 是由 Zavadskas 和 Kaklauskas 于 1996 年提出的多准则决策（MCDM）方法，用于解决多准则（含最大化、最小化混合）下的方案评估问题。其核心逻辑是通过归一化、加权聚合、区分准则类型，计算方案的综合得分 $Q_i$ ，得分越高的方案越优。
在这里插入图片描述

二、核心步骤与公式详解

1. 输入层：决策矩阵与准则权重

决策矩阵： $X=(xi,j)n×m\mathbf{X} = (x_{i,j})_{n \times m}$
- $n$ ：方案数（如 3 个投资项目）
- $m$ ：准则数（如“收益”“成本”“风险”）
- $x_{i,j}$ ：第 $i$ 个方案在第 $j$ 个准则下的原始值
准则权重： $q_j$ （ $1,2,\dots,m$ ）
- 满足 $∑j=1mqj=1\sum_{j=1}^m q_j = 1$ ，通常由 AHP、熵权法等确定

2. 预处理层：归一化与加权

步骤 1：归一化决策矩阵
$xˉi,j=xi,j∑i=1nxi,j\bar{x}_{i,j} = \frac{x_{i,j}}{\sum_{i=1}^n x_{i,j}}$

作用：消除量纲影响，将不同单位的准则值映射到 $[0, 1]$ 区间

步骤 2：加权归一化矩阵
$x^i,j=xˉi,j×qj\hat{x}_{i,j} = \bar{x}_{i,j} \times q_j$

作用：突出重要准则的影响

3. 准则分类层：区分最大化/最小化

假设前 $k$ 个准则为最大化准则（如“收益”），后 $m - k$ 个为最小化准则（如“成本”）：

最大化准则聚合：
$Pi=∑j=1kx^i,jP_i = \sum_{j=1}^k \hat{x}_{i,j}$
最小化准则聚合：
$Ri=∑j=k+1mx^i,jR_i = \sum_{j=k+1}^m \hat{x}_{i,j}$

4. 核心计算层：相对显著性与综合得分

步骤 1：计算基准值 $RminR_{\text{min}}$
$Rmin=min⁡iRiR_{\text{min}} = \min_i R_i$

意义：最小化准则的最优值（理想下限）

步骤 2：计算综合得分 $Q_i$
$Qi=Pi+Rmin⋅∑i=1nRiRi⋅∑i=1nRminRiQ_i = P_i + \frac{R_{\text{min}} \cdot \sum_{i=1}^n R_i}{R_i \cdot \sum_{i=1}^n \frac{R_{\text{min}}}{R_i}}$

公式拆解：
- 前半部分 $P_i$ ：反映最大化准则的贡献
- 后半部分：通过 $RminR_{\text{min}}$ 对最小化准则进行非线性修正，突出“更优方案应在最小化准则上表现更突出”

5. 决策层：排序与选择

按 $Q_i$ 降序排列，得分最高的方案为最优解。

三、关键特点与优势

特点	说明
混合准则支持	同时处理最大化（如“收益”）和最小化（如“成本”）准则，覆盖复杂决策场景
相对显著性设计	通过 $RminR_{\text{min}}$ 放大最小化准则的影响差异，强化“低成本优势”
计算透明度高	从归一化到最终得分的步骤清晰，便于理解和解释决策逻辑
工程适用性强	适合工程领域的多目标优化（如供应链设计、项目评估）

四、与其他 MCDM 方法的对比

方法	核心差异点	适用场景
COPRAS	通过 $RminR_{\text{min}}$ 强化最小化准则的相对影响，适合需“权衡收益与成本”的场景	工程设计、供应链优化
AHP	侧重通过成对比较确定准则权重，是“权重分配工具”	权重确定阶段
TOPSIS	通过“距离理想解的相对位置”排序，对异常值敏感	数据波动小的决策场景
WASPAS	融合线性加权（WSM）与非线性乘积（WPM），兼顾多种决策逻辑	复杂非线性决策问题

六、应用扩展

COPRAS 常与其他方法结合：

与 AHP 结合：AHP 确定准则权重，COPRAS 计算方案得分
与模糊理论结合：处理不确定环境下的决策（如专家判断的模糊性）
与机器学习结合：通过历史数据训练权重，优化 COPRAS 模型

总结

COPRAS 是一种结构化、透明化的多准则决策方法，通过数学公式清晰区分“收益”与“成本”类准则的影响，特别适合工程和管理领域的方案优选问题。其核心优势在于突出最小化准则的相对重要性，使决策结果更符合“低成本优先”的实际需求。

简单示例

以下是一个使用 COPRAS 优化方法的 MATLAB 实现示例，包含完整的计算流程和可视化功能。这个示例解决了一个经典的"旅游目的地选择"问题，通过 COPRAS 方法在多个准则下对备选方案进行排序和选择。

%% COPRAS（Complex Proportional Assessment）优化方法示例
clear; clc; close all;%% 1. 定义问题数据
% 备选方案（旅游目的地）
alternatives = {'桂林', '黄山', '北戴河', '张家界'};
num_alternatives = length(alternatives);% 评价准则
criteria = {'景色', '费用', '交通便利性', '住宿条件', '餐饮特色'};
num_criteria = length(criteria);% 准则权重（可通过AHP等方法确定）
weights = [0.25, 0.20, 0.15, 0.20, 0.20];% 决策矩阵（方案在各准则下的表现）
% 注："费用"为最小化准则，其余为最大化准则
decision_matrix = [9, 7, 8, 7, 8;    % 桂林8, 6, 6, 8, 7;    % 黄山7, 9, 9, 6, 6;    % 北戴河9, 5, 5, 9, 9     % 张家界
];% 标记准则类型（1=最大化，0=最小化）
criteria_type = [1, 0, 1, 1, 1];%% 2. COPRAS计算流程
% 步骤1：归一化决策矩阵
normalized_matrix = zeros(size(decision_matrix));
for j = 1:num_criteriaif criteria_type(j) == 1  % 最大化准则normalized_matrix(:,j) = decision_matrix(:,j) / sum(decision_matrix(:,j));else  % 最小化准则normalized_matrix(:,j) = min(decision_matrix(:,j)) ./ decision_matrix(:,j);end
end% 步骤2：加权归一化矩阵
weighted_matrix = normalized_matrix .* repmat(weights, num_alternatives, 1);% 步骤3：区分最大化和最小化准则的贡献
max_criteria = find(criteria_type == 1);
min_criteria = find(criteria_type == 0);P = sum(weighted_matrix(:,max_criteria), 2);  % 最大化准则的总贡献
R = sum(weighted_matrix(:,min_criteria), 2);  % 最小化准则的总贡献% 步骤4：计算R_min
R_min = min(R);% 步骤5：计算COPRAS得分
Q = zeros(num_alternatives, 1);
for i = 1:num_alternativesdenominator = 0;for k = 1:num_alternativesdenominator = denominator + (R_min / R(k));endQ(i) = P(i) + (R_min * sum(R)) / (R(i) * denominator);
end% 步骤6：计算相对效率
relative_efficiency = Q / max(Q) * 100;% 步骤7：排序
[~, sort_idx] = sort(Q, 'descend');%% 3. 可视化结果
% 3.1 决策矩阵热图
figure('Position', [100, 100, 800, 600]);
subplot(2, 2, 1);
imagesc(decision_matrix);
title('原始决策矩阵');
xlabel('准则');
ylabel('方案');
set(gca, 'XTick', 1:num_criteria, 'XTickLabel', criteria);
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives);
colorbar;
for i = 1:num_alternativesfor j = 1:num_criteriatext(j, i, num2str(decision_matrix(i,j)), 'HorizontalAlignment', 'center');end
end% 3.2 准则权重饼图
subplot(2, 2, 2);
pie(weights, criteria);
title('准则权重分布');% 3.3 COPRAS得分条形图
subplot(2, 2, 3);
bar(Q);
title('COPRAS得分对比');
xlabel('方案');
ylabel('得分');
set(gca, 'XTick', 1:num_alternatives, 'XTickLabel', alternatives);
for i = 1:num_alternativestext(i, Q(i), sprintf('%.3f', Q(i)), 'HorizontalAlignment', 'center', 'VerticalAlignment', 'bottom');
end% 3.4 方案排序结果
subplot(2, 2, 4);
barh(1:num_alternatives, Q(sort_idx));
title('方案排序结果');
xlabel('COPRAS得分');
ylabel('方案（按排名）');
set(gca, 'YTick', 1:num_alternatives, 'YTickLabel', alternatives(sort_idx));
for i = 1:num_alternativestext(Q(sort_idx(i)), i, sprintf('%.3f (%.1f%%)', Q(sort_idx(i)), relative_efficiency(sort_idx(i))), ...'HorizontalAlignment', 'left', 'VerticalAlignment', 'middle'); % 修改此处
end%% 4. 输出结果
fprintf('\n===== COPRAS优化结果汇总 =====\n');
fprintf('\n1. 准则权重:\n');
for i = 1:num_criteriafprintf('   %s: %.2f\n', criteria{i}, weights(i));
endfprintf('\n2. 方案评估得分:\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   %s: %.4f (相对效率: %.2f%%)\n', alternatives{i}, Q(i), relative_efficiency(i));
endfprintf('\n3. 推荐排序:\n');
for i = 1:num_alternativesfprintf('   第%d名: %s (得分: %.4f)\n', i, alternatives{sort_idx(i)}, Q(sort_idx(i)));
end

代码说明：

问题定义：
- 4个备选方案（旅游目的地）：桂林、黄山、北戴河、张家界
- 5个评价准则：景色、费用、交通便利性、住宿条件、餐饮特色
- 准则权重：通过专家判断或AHP方法预先确定
- 准则类型："费用"为最小化准则，其余为最大化准则
COPRAS计算流程：
- 归一化处理：针对不同类型准则采用不同归一化方法
- 加权聚合：计算各方案在最大化和最小化准则上的贡献
- 核心公式：计算R_min和综合得分Q
- 相对效率：将得分转换为百分比形式便于比较
可视化功能：
- 决策矩阵热图：直观展示原始数据
- 准则权重饼图：显示各准则重要性分布
- COPRAS得分条形图：对比各方案得分
- 方案排序结果：按得分从高到低展示
结果输出：
- 详细列出各方案得分和相对效率
- 给出推荐排序结果