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P1020 [NOIP 1999 提高组] 导弹拦截

news 2025/8/1 21:16:37

P1020 [NOIP 1999 提高组] 导弹拦截 - 洛谷

题解来自洛谷题解，仅仅用于自己整理知识

这段代码是 NOIP1999 提高组第一题「导弹拦截系统」的一个 高效 O(n log n) 解法，目标是解决两件事：

最多能拦截多少导弹（只有一套系统）
→ 即求一个 最长不升子序列（Longest Decreasing Subsequence，LDS） 的长度
拦截所有导弹最少需要几套系统
→ 即将整个序列划分成最少数量的 不升子序列

✅ 解题思路概览

这段代码用了经典的 贪心 + 二分 + tail 数组维护方式（也是 LIS 的优化思路，反过来处理即可用于 LDS）。

const int N = 1e7 + 10;
int n, res, a[N], f[N];

a[N]：存储导弹高度
f[N]：辅助数组，类似于“每种长度的序列的末尾最小值”
n：导弹总数
res：结果值（最长长度）

读入输入+数据反转

while(cin >> x) a[++n] = x;
reverse(a + 1, a + n + 1);

为什么要反转 `a[1...n]`？

因为原题求的是 最长不升子序列（LDS）
而 LIS（最长上升子序列）的经典做法就是用 lower_bound 来查找位置。

把问题反转之后求 LIS，就等价于在原序列上求 LDS。

第一问：最长不升子序列（LDS）长度

memset(f, 0x3f, sizeof(f)); // 初始化 f[] 为无穷大
for(int i = 1; i <= n; i++) {int l = 1, r = i;while(l < r) {int mid = (r + l) / 2;if(f[mid] > a[i]) r = mid;else l = mid + 1;}f[l] = min(f[l], a[i]);res = max(res, l);
}
cout << res << endl;

✅ 说明：

我们想维护一个数组 f[i]：

表示长度为 i 的不升子序列末尾的最小值

🚀 每次二分查找：

找的是 f[pos] > a[i] 的最小 pos，因为反转后问题就成了找 最长上升子序列

如果找到，就替换 f[pos] 为更小的值，有利于后续增长
如果找不到，就在末尾新增

🔍 解释（二分查找目标）：

寻找最小的下标 l，使得 f[l] > a[i]

换句话说：

找到一个位置 l，可以插入 a[i]，以维持 f[1...l] 是严格递减的
这是反转过的最长上升子序列的技巧 —— 用 lower_bound 思路求 LDS

✅ 为什么这样做？

我们维护 f[] 的单调性，使得：

f[i] 越小越好 → 更容易接后面的更小值
如果 a[i] 能接在某个 f[l] 之后，就更新它（使结尾更优）

f[l] = min(f[l], a[i]);

🔍 解释：

将 a[i] 放入 f[l] 这个位置（更新为较小值）：

表示存在一个长度为 l 的不升子序列，其结尾为 a[i]
如果原来的 f[l] 更大，那现在用更小的 a[i] 替代它，有利于后续元素加入

第二问：最少系统数（最少不升子序列划分）

memset(f, 0x3f, sizeof(f));
reverse(a + 1, a + n + 1); // 再反回来
res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {int l = 1, r = i;while (l < r) {int mid = (l + r) / 2;if (f[mid] >= a[i]) r = mid;else l = mid + 1;}f[l] = min(f[l], a[i]);res = max(res, l);
}
cout << res;

问题	方法	目标	二分条件	更新策略
最长不升子序列	LIS on reversed	找最长	`f[mid] > a[i]`	`f[l] = min(f[l], a[i])`
最少系统数量	贪心组系统	分组	`f[mid] >= a[i]`	`f[l] = min(f[l], a[i])`