代码随想录算法训练营二十九天|动态规划part02

LeetCode 62 不同路径

题目链接：62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

1.确定dp数组以及下标的含义：dp[i][j]表示到达坐标为(i,j)的点的不同路径数目，我们需要求dp[m-1][n-1]。

2.确定递推公式：因为机器人每次只能向下或者向右移动，所以dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]。

3.dp数组如何初始化：因为机器人只能向右或向下移动，所以对于第一行和第一列的各点，都只能有一条路径，所以初始化：

for(int i=0;i<m;i++)dp[i][0]=1;
for(int j=1;j<n;j++)dp[0][j]=1;

4.确定遍历顺序：按行优先遍历。

5.举例推导dp数组：

代码如下： 

class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] dp=new int[m][n];for(int i=0;i<m;i++)dp[i][0]=1;for(int j=1;j<n;j++)dp[0][j]=1;for(int i=1;i<m;i++){for(int j=1;j<n;j++){dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
}

LeetCode 63 不同路径II

题目链接：63. 不同路径 II - 力扣（LeetCode）

给定一个 m x n 的整数数组 grid。一个机器人初始位于 左上角（即 grid[0][0]）。机器人尝试移动到 右下角（即 grid[m - 1][n - 1]）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。机器人的移动路径中不能包含 任何 有障碍物的方格。

返回机器人能够到达右下角的不同路径数量。

测试用例保证答案小于等于 2 * 109。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

本题和上一题dp数组定义和上一题一样。

递推公式也和上一题一样，只是遇到障碍物时dp赋值为0。

初始化：因为机器人只能向右或向下走，所以如果第一行或第一列中有一个障碍物，那么这一行或这一列之后的所有点都不可达，如图所示：

所以初始化如下：

for(int i=0;i<m;i++){if(obstacleGrid[i][0]==1)break;else dp[i][0]=1;}for(int j=0;j<n;j++){if(obstacleGrid[0][j]==1)break;else dp[0][j]=1;}

整体代码如下： 

class Solution {public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {int m=obstacleGrid.length;int n=obstacleGrid[0].length;int[][] dp=new int[m][n];for(int i=0;i<m;i++){if(obstacleGrid[i][0]==1)break;else dp[i][0]=1;}for(int j=0;j<n;j++){if(obstacleGrid[0][j]==1)break;else dp[0][j]=1;}for(int i=1;i<m;i++){for(int j=1;j<n;j++){if(obstacleGrid[i][j]==1)dp[i][j]=0;else dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
}

LeetCode 343 整数拆分

题目链接：343. 整数拆分 - 力扣（LeetCode）

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k个 正整数 的和，并使这些整数的乘积最大化。k >= 2

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

1.确定dp数组以及下标的含义：dp[i]表示正整数i拆分为k个正整数，这些整数的最大乘积。

2.确定递推公式：

对于数字i，我们可以选择：

直接拆分成j和i-j，乘积为j*(i-j);

拆分成j和进一步拆分的i-j，乘积为j*dp[i-j]。

所以递推公式为：dp[i]=max(dp[i],dp[i-j]*j,(i-j)*j);

3.dp数组如何初始化：初始化dp[2]=1。

4.确定遍历顺序：i从前向后遍历。

5.举例推导dp数组：举例n=10时：

代码如下： 

class Solution {public int integerBreak(int n) {int[] dp=new int[n+1];dp[2]=1;for(int i=3;i<=n;i++){for(int j=1;j<i;j++){dp[i]=Math.max(dp[i],dp[i-j]*j);dp[i]=Math.max(dp[i],(i-j)*j);}}return dp[n];}
}

LeetCode 96 不同的二叉搜索树

题目链接：96. 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5
示例 2：

输入：n = 1
输出：1

1.确定dp数组以及下标的含义：dp[i]表示i个节点可以组成的互不相同的二叉搜索树个数。

2.确定递推公式：假设当前有i个节点，选j（1<=j<=i）作为根节点，所以1~j-1就是左子树上的节点，j+1~i就是右子树上的节点，所以左子树有dp[j-1]种，右子树有dp[i-j]种，所以以j为根节点的树有（dp[j-1]*dp[i-j]）种。j可以取1~i，所以递推公式为：。

3.dp数组如何初始化：当有0个或1个节点，只有一种，所以dp[0]=dp[1]=1。

4.确定遍历顺序：从前向后遍历

5.举例推导dp数组：举例n=5时：

class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp=new int[n+1];dp[0]=1;dp[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];}}return dp[n];}
}