拉普拉斯方程的径向解法

题目

问题 1.
(a) 对方程 $$\Delta u:=u_{xx}+u_{yy}=0$$，求仅依赖于 $$r$$ 的解（其中 $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$）。
(b) 对方程 $$\Delta u:=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$$，求仅依赖于 $$\rho$$ 的解（其中 $$\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$）。
© 在 $$n$$ 维情况下，证明如果 $$u=u(r)$$ 且 $$r=(x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2{)}^{\frac{1}{2}}$$，则
$$\Delta u=u_{rr}+\frac{n-1}{r}{u}_r=0.(1)$$
(d) 在 $$n$$ 维情况下（$$n\ne 2$$），证明 $$u=u(r)$$ 在 $$x\ne 0$$ 时满足拉普拉斯方程当且仅当 $$u=A{r}^{2-n}+B$$。

解决题目

以下逐步解决每个部分。拉普拉斯方程 $$\Delta u=0$$ 在径向对称假设下（即 $$u$$ 仅依赖于径向距离 $$r$$ 或 $$\rho$$) 被简化为常微分方程（ODE），然后求解。

(a) 二维拉普拉斯方程的解（仅依赖于 $$r$$)

考虑方程 $$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0$$，其中 $$u=u(r)$$ 且 $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$。
通过链式法则计算偏导数：

• $$u_x=u_r\frac{\partial r}{\partial x}=u_r\frac{x}{r}$$，
• $$u_y=u_r\frac{\partial r}{\partial y}=u_r\frac{y}{r}$$。
  二阶偏导数为：
• $$u_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}\left(u_r\frac{x}{r}\right)=u_{rr}{\left(\frac{x}{r}\right)}^2+u_r\left(\frac{1}{r}-\frac{x^2}{r^3}\right)$$，
• $$u_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(u_r\frac{y}{r}\right)=u_{rr}{\left(\frac{y}{r}\right)}^2+u_r\left(\frac{1}{r}-\frac{y^2}{r^3}\right)$$。
  求和：
  $$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}\left(\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}\right)+u_r\left(\frac{2}{r}-\frac{x^2+y^2}{r^3}\right)=u_{rr}\cdot 1+u_r\left(\frac{2}{r}-\frac{r^2}{r^3}\right)=u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r.$$
  设 $$\Delta u=0$$，得 ODE：
  $$u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r=0.$$
  令 $$v=u_r$$，则：
  $$\frac{dv}{dr}+\frac{1}{r}v=0⟹\frac{dv}{v}=-\frac{dr}{r}⟹\ln |v|=-\ln |r|+C_1⟹v=\frac{A}{r}(A=e^{C_1}).$$
  积分：
  $$u_r=\frac{A}{r}⟹u=A\ln r+B(B\text{ 为常数}).$$
  因此，解为：
  $$\boxed{u=A\ln r+B}$$
  其中 $$A$$ 和 $$B$$ 是任意常数。

(b) 三维拉普拉斯方程的解（仅依赖于 $$\rho$$)

考虑方程 $$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$$，其中 $$u=u(\rho )$$ 且 $$\rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$。
通过链式法则计算偏导数：

• $$u_x=u_{\rho }\frac{\partial \rho }{\partial x}=u_{\rho }\frac{x}{\rho }$$，类似得 $$u_y$$、$$u_z$$。
  二阶偏导数为：
• $$u_{xx}=u_{\rho \rho }{\left(\frac{x}{\rho }\right)}^2+u_{\rho }\left(\frac{1}{\rho }-\frac{x^2}{{\rho }^3}\right)$$，
• $$u_{yy}=u_{\rho \rho }{\left(\frac{y}{\rho }\right)}^2+u_{\rho }\left(\frac{1}{\rho }-\frac{y^2}{{\rho }^3}\right)$$，
• $$u_{zz}=u_{\rho \rho }{\left(\frac{z}{\rho }\right)}^2+u_{\rho }\left(\frac{1}{\rho }-\frac{z^2}{{\rho }^3}\right)$$。
  求和：
  $$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=u_{\rho \rho }\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{{\rho }^2}\right)+u_{\rho }\left(\frac{3}{\rho }-\frac{x^2+y^2+z^2}{{\rho }^3}\right)=u_{\rho \rho }\cdot 1+u_{\rho }\left(\frac{3}{\rho }-\frac{{\rho }^2}{{\rho }^3}\right)=u_{\rho \rho }+\frac{2}{\rho }{u}_{\rho }.$$
  设 $$\Delta u=0$$，得 ODE：
  $$u_{\rho \rho }+\frac{2}{\rho }{u}_{\rho }=0.$$
  令 $$w=u_{\rho }$$，则：
  $$\frac{dw}{dr}+\frac{2}{\rho }w=0⟹\frac{dw}{w}=-2\frac{d\rho }{\rho }⟹\ln |w|=-2\ln |\rho |+C_1⟹w=\frac{A}{{\rho }^2}(A=e^{C_1}).$$
  积分：
  $$u_{\rho }=\frac{A}{{\rho }^2}⟹u=A\int {\rho }^{-2}d\rho =A\left(-{\rho }^{-1}\right)+B=-\frac{A}{\rho }+B.$$
  令 $$C=-A$$，则解为：
  $$\boxed{u=\frac{C}{\rho }+B}$$
  其中 $$C$$ 和 $$B$$ 是任意常数（或等价地 $$u=\frac{A}{\rho }+B$$）。

© n 维径向对称拉普拉斯算子的表达式

在 $$n$$ 维空间，设 $$u=u(r)$$ 且 $$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$$。拉普拉斯算子为：
$$\Delta u=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i^2}.$$
对每个 $$i$$，计算偏导数：

• $$\frac{\partial u}{\partial x_i}=u_r\frac{\partial r}{\partial x_i}=u_r\frac{x_i}{r}$$，
• $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i^2}=\frac{\partial }{\partial x_i}\left(u_r\frac{x_i}{r}\right)=\underset{\text{项1}}{\underbrace{\frac{\partial u_r}{\partial x_i}\frac{x_i}{r}}}+\underset{\text{项2}}{\underbrace{u_r\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{r}\right)}}$$。
  其中：
• 项1： $$\frac{\partial u_r}{\partial x_i}=u_{rr}\frac{\partial r}{\partial x_i}=u_{rr}\frac{x_i}{r}$$，所以 $$\text{项1}=u_{rr}\frac{x_i}{r}\cdot \frac{x_i}{r}=u_{rr}\frac{x_i^2}{r^2}$$，
• 项2： $$\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{x_i}{r^2}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{1}{r}-\frac{x_i}{r^2}\cdot \frac{x_i}{r}=\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}$$，所以 $$\text{项2}=u_r\left(\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}\right)$$。
  因此：
  $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i^2}=u_{rr}\frac{x_i^2}{r^2}+u_r\left(\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}\right).$$
  求和：
  $$\Delta u=\sum _{i=1}^n\left[u_{rr}\frac{x_i^2}{r^2}+u_r\frac{1}{r}-u_r\frac{x_i^2}{r^3}\right]=u_{rr}\sum _{i=1}^n\frac{x_i^2}{r^2}+u_r\frac{1}{r}\sum _{i=1}^{n}1-u_r\frac{1}{r^3}\sum _{i=1}^n{x}_i^2.$$
  代入 $$\sum _{i=1}^n{x}_i^2=r^2$$ 和 $$\sum _{i=1}^{n}1=n$$:
  $$\Delta u=u_{rr}\cdot \frac{r^2}{r^2}+u_r\frac{1}{r}\cdot n-u_r\frac{1}{r^3}\cdot r^2=u_{rr}+\frac{n}{r}{u}_r-\frac{1}{r}{u}_r=u_{rr}+\frac{n-1}{r}{u}_r.$$
  因此，当 $$u$$ 满足拉普拉斯方程时：
  $$\boxed{\Delta u=u_{rr}+\frac{n-1}{r}{u}_r=0}$$
  如方程 (1) 所示。

(d) n 维径向对称调和函数的通解（n ≠ 2）

由 © 知，当 $$u=u(r)$$ 时，拉普拉斯方程化为：
$$u_{rr}+\frac{n-1}{r}{u}_r=0,r>0(x\ne 0).$$
解此 ODE。令 $$v=u_r$$，则：
$$\frac{dv}{dr}+\frac{n-1}{r}v=0⟹\frac{dv}{v}=-\frac{n-1}{r}dr⟹\ln |v|=-(n-1)\ln |r|+C_1⟹v=A{r}^{-(n-1)}(A=e^{C_1}).$$
所以：
$$u_r=A{r}^{-(n-1)}.$$
积分（注意 $$n\ne 2$$ 时，指数 $$-(n-1)\ne -1$$)：
$$u=A\int r^{-(n-1)}dr=A\int r^{1-n}dr=A\cdot \frac{r^{2-n}}{2-n}+B(B\text{ 为常数}).$$
令 $$A^{\prime }=\frac{A}{2-n}$$，则解为：
$$\boxed{u=A^{\prime }{r}^{2-n}+B}$$
其中 $$A^{\prime }$$ 和 $$B$$ 是任意常数。

• 当且仅当证明：
  • 若 $$u=A^{\prime }{r}^{2-n}+B$$，则代入 © 的表达式可验证 $$\Delta u=0$$（直接计算导数）。
  • 反之，若 $$\Delta u=0$$ 且 $$u=u(r)$$，则上述 ODE 推导给出此形式。
    故在 $$x\ne 0$$ 时，$$u$$ 满足拉普拉斯方程当且仅当 $$u=A{r}^{2-n}+B$$（$$n\ne 2$$)。