搜索--二分查找

二分查找，它是基于分治策略的高效搜索算法，利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
优势和局限：二分查找仅适用于有序数据的数组（需跳跃式（非连续地）访问元）；其时间复杂度通常为 $O(\log n)$。

场景1：给定一个数组 nums，其数组没有重复元素且元素按从小到大排序，数组长度为 n；在数组查找元素 target 并返回对应的下标，若数组不包含目标元素，就返回 $-1$。
算法流程：
（1）初始化两个指针 i=0 和 j=n-1，分别指向数组的首元素和尾元素，代表搜索区间 $[0,n-1]$。此时我们规定：下标严格小于 i 的元素一定小于 target，而下标严格大于 j 的元素一定大于 target。
（2）满足 i <= j 的条件下，循环执行以下两步：
 （2.1）计算中点索引 $m=\lfloor (i+j)/2\rfloor$；
 （2.2）判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况：
   a、当 nums[m] = target 时，说明找到 target，因此返回索引 m；
   b、当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 $[m+1,j]$ 中，因此执行 $i=m+1$；
   c、当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 $[i,m-1]$ 中，因此执行 $j=m-1$。

在这个过程中，区间大小会不断减少，知道遇到目标元素或者为空（i > j），结束循环，查找结束。
情况 b 中，修改指针 i 的取值，说明区间 $[0,i-1]$ 的元素均小于 target（此时 $i=m+1$），满足上述规定；
情况 c 中，修改指针 j 的取值，说明区间 $[j+1,n-1]$ 的元素均大于 target（此时 $j=m-1$），满足上述规定；
当出现 i = j 时，说明待判断的元素只剩下一个：若是目标值，则直接返回下标，若不是目标值，根据其与 target 关系修改指针的值，进而查找范围为空。

def binarySearch(nums, target):n = len(nums)i, j = 0, n-1while i <= j:m = i + (j-i)//2if nums[m] < target:i = m+1elif nums[m] > target:j = m-1else:return mreturn -1

场景2：在上述数组的基础上，假设数组中存在多个 target，则上述的二分查找只能返回其中一个的索引，无法确定该元素的左边和右边还有多少 target。
为此，扩展上面的二分查找代码，使其能找到第一个 target，并返回对应的下标。

算法流程：整体流程保持不变，初始化 i=0 和 j=n-1；接着，每轮循环中计算索引 $m$，再判断 nums[m] 和 target 的关系：
(1) 当 nums[m] > target 或 nums[m] < target 时，说明还没有找到目标值，则跟上述一样，修改指针 i 和 j，使其缩小范围；
(2) 当 nums[m] == target 时，说明找到目标元素，可采用 $j=m-1$ 来缩小搜索区间，这可保持小于 target 的元素在 $[0,m-1]$ 中，而指针 j 向着小于 target 元素靠近；
完成循环后，i 指向最左边的 target，而 j 指向首个小于 target 的元素。最终，返回索引 i。

在这个过程中规定：下标小于 i 的元素一定小于 target，而下标大于 j 的元素是大于等于 target。

def binarySearch2(nums, target):"""二分查找（存在重复元素）"""n = len(nums)i, j = 0, n-1while i <= j:m = i + (j-i)//2if nums[m] < target:i = m+1elif nums[m] > target:j = m-1else:j = m-1return i

参考：《Hello 算法》