拉普拉斯变换的理解

1、首先拉普拉斯变换确实是可以理解为原信号乘以e^(-σt)再进行傅里叶变换，但是要搞清楚一点，理解的时候应该把"乘以e^(-σt)再进行傅里叶变换" 当做一个整体称为拉普拉斯变换。特意强调这点是因为在网上看到很多人都在问：原信号都乘以e^(-σt) 了，就算能进行傅里叶分析，还是原信号吗？ 这个是典型的把拉普拉斯变换和傅里叶混淆了，首先拉普拉斯正变换和傅里叶变换是不同的变换，正变换的不一样，逆变换也不一样。相当于是两者是不同的拆分信号的方法(即正变换)，同时两者将拆分的信号再重新组合还原的方法也不同(即逆变换)。

2、那既然有了傅里叶变换，为什么还需要拉普拉斯变换呢？前文提到，傅里叶变换和拉普拉斯变换本质上都是将信号拆分，但是傅里叶变换是将信号拆分成不同频率的三角函数，利用傅里叶变换，可以分析出信号不同频率分量的大小，从而传递或处理信息。

但是拉普拉斯变换则不是这个目的，拉普拉斯变换相当于按照另一套规则进行拆分，同样也会得到不同频率分量的大小，但是这个频率分量是经过衰减的，这个时候大家就会有疑问了，既然这个频率分量是衰减的，那么我怎么利用这个频率分量呢？实际上，拉普拉斯变换一般并不直接利用这些衰减频率分量，这些衰减的频率分量只是一个中间过程。

我们再进一步的说明，我们从拉普拉斯变换产生的若干个衰减的频率分量中任意取出一个，并将这个衰减后的频率分量作为一个LTI系统的输入，那么会得到一个输出。那么很显然，这个输出是衰减后的频率分量的对应输出， 但是由于是线性系统，我们又知道衰减量，那么就可以推断出未衰减的这个频率分量本来的输出应该是多少。我们依次把所有的衰减之后的频率分量都输入到此系统，然后将每个频率分量对应的输出相加，最终就可以得出这个系统的对应原信号的输出是什么。当然，我们自然而然的就会有一个疑问，为什么不直接把没衰减的频率分量作为系统的输入呢，这是因为没衰减的频率分量其实对应的就是傅里叶变换，而很多信号没办法使用傅里叶变换进行分析得到没有衰减的频率分量，但是这些不能进行傅里叶分析的信号经过衰减后，就可以进行傅里叶变换，来得到不同频率衰减后的频率分量了。

3、说到这里，其实还是存在一个非常明显的问题：为什么要这么执着的将信号拆分成不同的频率分量呢,不能直接使用原信号进行分析吗？答案是当然可以，但是拉普拉斯变换和傅里叶变换可以简化分析。首先我们举一个最简单的系统的例子：y(t)=f(t)，对于这个系统来说，根本不需要进行任何拉普拉斯变换/傅里叶变换，输入是什么，输出就是什么。但是如果是另外一个系统呢：a*y''(t)+b*y'(t)+c*y(t)=d*x'(t) + e*x(t)，至少一眼看过去，就算知道了输入x(t)是什么，也没办法知道输出y(t)是什么。此时如果进行拉普拉斯变换，就可以把这个系统的输入输出关系的求解问题大大简化。利用拉普拉斯变换求解微分方程的过程比较长，具体的过程在此不作介绍，但是有必要说一下拉普拉斯变换为什么会简化微分方程的求解。这是因为指数函数的形式e^at很方便进行计算，比如积分、微分、相乘等计算，指数函数相较于其他形式的函数来说运算起来十分简单，而拉普拉斯变换和傅里叶变换都是指数的形式(利用欧拉公式将三角函数转换成了复指数的形式)。利用指数函数的性质，我们可以推导出拉普拉斯变换和傅里叶变换的很多性质，其中就包含微分性质，而微分性质就十分适合用来求解微分方程。

另外，拉普拉斯变换甚至不需要求出逆变换，只根据系统函数的性质就可以得到很多系统的信号，比如如果系统函数的所有极点位于左半平面，则说明系统是稳定的。

根据系统的因果特性、稳定性和极点等，能够推导致系统的收敛域，从而得到系统的响应。虽然很多教材资料都说由收敛域可以得到系统的稳定性、因果性等信息，但要搞清楚，这相当于是倒推，而不是正推。对于拉普拉斯变换而言，相同的象函数可能对应两个不同的原函数，需要借助收敛域才能判断原函数是什么，而这个收敛域需要可以根据已知信息推导出来，比如因果性、稳定性等。这个其实也很好理解，当求解一个微分方程时，这个微分方程可能有两个解，但是我们给出一些限定条件，比如说这个解是因果信号，我们自然就能排除掉非因果信号的解。