[学习] 深入理解傅里叶变换：从时域到频域的桥梁

深入理解傅里叶变换：从时域到频域的桥梁

傅里叶变换不仅仅是一个数学工具，更是一种强大的思维方式，它为我们理解信号、系统乃至世界提供了全新的视角。通过将复杂信号分解为不同频率的正弦波或复指数函数的组合，傅里叶变换揭示了信号的本质结构，成为众多科学与工程领域的核心基础。

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1. 核心思想：从时域到频域

想象你在听一段音乐：

• 时域视角：你看到的是声音振幅随时间变化的波形图（横轴是时间，纵轴是振幅）。它告诉你某个特定时刻声音有多“响”。
• 频域视角：你想知道这段音乐是由哪些不同频率（音高）的音符组成的，以及每个音符的强度（响度）有多大。这就是频域（横轴是频率，纵轴是强度/能量）。

傅里叶变换的精髓在于：它可以将任何复杂的信号（函数）分解成一系列不同频率、不同幅度、不同相位的正弦波（或复指数）的组合。就像把一束白光分解成七彩光谱一样。

时频域转换演示：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 创建复合信号
t = np.linspace(0, 1, 1000, endpoint=False)
signal = (np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + (0.5 * np.sin(2 * np.pi * 20 * t))# 可视化时域信号
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(211)
plt.plot(t, signal)
plt.title('时域信号 (5Hz + 20Hz)')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('振幅')# 傅里叶变换
fft_result = np.fft.fft(signal)
freqs = np.fft.fftfreq(len(t), t[1]-t[0])# 可视化频域
plt.subplot(212)
plt.plot(freqs[:len(freqs)//2], np.abs(fft_result[:len(freqs)//2]))
plt.title('频域表示')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('振幅')
plt.tight_layout()
plt.show()

演示效果：通过FFT可以实现时域到频域的转换

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2. 为什么需要傅里叶变换？

傅里叶变换之所以如此重要，是因为它在多个方面提供了独特的价值：

1. 揭示隐藏结构：很多信号在时域中看起来杂乱无章，但在频域中，其组成频率及其强度一目了然。例如，识别音频中的特定乐器、检测心电图中的异常心跳频率。
2. 简化分析：在频域中对信号进行滤波、压缩、特征提取等操作往往比在时域中更简单直观。例如，设计一个低通滤波器去除高频噪声，只需在频域中衰减高频分量。
3. 理解系统特性：线性时不变系统对输入信号的响应，在频域中表现为简单的乘法（系统频率响应函数乘以输入频谱），这比在时域进行卷积运算要容易得多。
4. 解决微分方程：傅里叶变换可以将某些微分方程转化为频域中的代数方程，大大简化求解过程。
5. 广泛的应用：信号处理（音频、图像、视频）、通信系统、量子力学、光学、热传导、结构分析、金融数据分析等众多领域。

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3. 数学定义

傅里叶变换有多种形式，适用于不同类型的信号：

3.1 连续傅里叶变换（CFT）

• 适用对象：连续时间、非周期信号。
• 正变换（时域 → 频域）：
  $$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot e^{-i\omega t}dt$$
• 逆变换（频域 → 时域）：
  $$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )\cdot e^{i\omega t}d\omega$$
• 解释：
  • $f(t)$：时域信号。
  • $F(\omega )$：频域表示，通常是复数。
  • $\omega =2\pi f$ 是角频率。
  • $e^{-i\omega t}=\cos (\omega t)-i\sin (\omega t)$：复指数函数，是傅里叶变换的基函数。
  • 积分过程：正变换本质上是将原始信号 $f(t)$ 与频率为 $\omega$ 的复指数基函数进行内积。结果 $F(\omega )$ 的模 $|F(\omega )|$ 表示频率 $\omega$ 成分的强度，其辐角 $\arg (F(\omega ))$ 表示相位偏移。
  • 逆变换：将所有频率分量叠加起来，就能重构原始信号。

3.2 傅里叶级数（FS）

• 适用对象：连续时间、周期信号。
• 复指数形式：
  $$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n\cdot e^{in{\omega }_{0}t}$$
  其中 ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$ 是基波角频率。
• 系数计算：
  $$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cdot e^{-in{\omega }_{0}t}dt$$
• 解释：$c_n$ 是频率为 $n{\omega }_0$ 的分量对应的复数系数，其模 $|c_n|$ 表示振幅，辐角 $\arg (c_n)$ 表示相位。频谱是离散的线谱。

3.3 离散时间傅里叶变换（DTFT）

• 适用对象：离散时间、非周期信号。
• 正变换：
  $$X(e^{i\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]\cdot e^{-i\omega n}$$
• 解释：$x[n]$ 是离散时间序列，$X(e^{i\omega })$ 是其频谱。它是角频率 $\omega$ 的连续函数，但以 $2\pi$ 为周期。频率范围通常取 $[-\pi ,\pi ]$ 或 $[0,2\pi ]$。

3.4 离散傅里叶变换（DFT）

• 适用对象：有限长的离散时间信号。
• 正变换：
  $$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\dots ,N-1$$
• 逆变换：
  $$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i\frac{2\pi }{N}kn},n=0,1,\dots ,N-1$$
• 解释：
  • $x[n]$：长度为 $N$ 的时域离散序列。
  • $X[k]$：长度为 $N$ 的频域离散序列。
  • $e^{-i\frac{2\pi }{N}kn}$：DFT 的基函数。
  • $k$：频域索引，对应频率 $f_k=k\cdot \frac{f_s}{N}$ (Hz)，其中 $f_s$ 是采样频率。
• 关键点：
  • DFT 将有限长序列视为一个周期信号的一个周期。
  • $X[k]$ 是 DTFT 在频率点 ${\omega }_k=\frac{2\pi k}{N}$ 上的采样。
  • 快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的 DFT 算法（$O(N\log N)$），使得傅里叶分析在实时应用中成为可能。

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4. 关键概念与特性

4.1 频谱

• 幅度谱：$|F(\omega )|$ 或 $|X[k]|$，表示各频率分量的强度。
• 相位谱：$\arg (F(\omega ))$ 或 $\arg (X[k])$，表示各频率分量的相位偏移。相位信息对信号重构至关重要，但幅度谱通常更直观。

4.2 正交性与基函数

不同频率的复指数函数 $e^{i\omega t}$ 在无穷区间上是正交的（内积为0）。这种正交性保证了信号可以唯一地分解成这些基函数的线性组合。

4.3 狄利克雷条件

一个函数能够进行傅里叶变换（或展开为傅里叶级数）需满足以下条件：

• 在任意有限区间内只有有限个第一类间断点。
• 在任意有限区间内只有有限个极值点。
• 绝对可积：$\int |f(t)|dt<\infty$。

绝大多数物理信号都满足这些条件。

4.4 吉布斯现象

当用有限项傅里叶级数逼近具有间断点的信号（如方波）时，在间断点附近会出现振荡和过冲，且不随项数增加而消失，只是振荡区域变窄。这是傅里叶分析的一个固有特性。

4.5 卷积定理

这是傅里叶变换最重要的性质之一：

• 时域卷积 ↔ 频域乘积：$f(t)\ast g(t)\leftrightarrow F(\omega )\cdot G(\omega )$
• 时域乘积 ↔ 频域卷积：
  • 连续：$f(t)\cdot g(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }F(\omega )\ast G(\omega )$
  • 离散时间：$x[n]\cdot y[n]\leftrightarrow X(e^{i\omega })\ast Y(e^{i\omega })$
  • DFT：$x[n]\cdot y[n]\leftrightarrow \frac{1}{N}X[k]\ast Y[k]$（循环卷积）

4.6 帕塞瓦尔定理（能量守恒）

信号在时域的总能量等于其在频域的总能量：

• 连续：$\int |f(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }\int |F(\omega ){|}^{2}d\omega$
• 离散（DFT）：$\sum |x[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum |X[k]{|}^2$

4.7 对称性

傅里叶变换具有多种对称性，如实数信号的共轭对称性：
$$F(-\omega )=F^{\ast }(\omega )$$
这些性质在分析和计算中非常有用。

4.8 时频分辨率不确定性原理

类似于量子力学中的测不准原理，在信号分析中，你无法同时获得任意高的时间分辨率和频率分辨率。加窗（如短时傅里叶变换）是分析时变信号频谱的一种折中方法，但会带来分辨率限制。小波变换等方法是试图更好地解决这一问题的技术。

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5. 使用示例

5.1 信号降噪处理

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 生成含噪声的信号
fs = 1000  # 采样率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + (0.8 * np.sin(2 * np.pi * 20 * t))
noise = 0.5 * np.random.normal(size=len(t))
noisy_signal = signal + noise# 傅里叶变换
fft_result = np.fft.fft(noisy_signal)
freqs = np.fft.fftfreq(len(t), 1/fs)# 滤波：保留5-20Hz频率
fft_filtered = fft_result.copy()
fft_filtered[np.abs(freqs) < 3] = 0    # 去除低频噪声
fft_filtered[np.abs(freqs) > 25] = 0   # 去除高频噪声# 逆傅里叶变换
filtered_signal = np.real(np.fft.ifft(fft_filtered))# 可视化结果
plt.figure(figsize=(12, 8))plt.subplot(311)
plt.plot(t, noisy_signal)
plt.title('原始含噪声信号')
plt.ylim(-3, 3)plt.subplot(312)
plt.plot(freqs[:len(freqs)//2], np.abs(fft_result)[:len(freqs)//2])
plt.title('频域分析')
plt.xlim(0, 50)plt.subplot(313)
plt.plot(t, filtered_signal, 'r', linewidth=1.5)
plt.plot(t, signal, 'k--', alpha=0.5)
plt.title('滤波后信号 vs 原始信号')
plt.legend(['滤波后', '原始纯净信号'])
plt.ylim(-3, 3)plt.tight_layout()
plt.savefig('signal_denoising.png', dpi=120)
plt.show()

实验结果：信号噪声被明显的消减了

5.1 信号降噪处理

完整代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage import data, color
from skimage.util import random_noise# 准备测试图像
image = color.rgb2gray(data.astronaut())
noisy_image = random_noise(image, mode='gaussian', var=0.01)  # 添加噪声# 二维傅里叶变换
fft_image = np.fft.fft2(noisy_image)
fft_shifted = np.fft.fftshift(fft_image)  # 低频移到中心# 创建高通滤波器
rows, cols = image.shape
crow, ccol = rows//2, cols//2
mask = np.ones((rows, cols), np.float32)
r = 30  # 滤波器半径
mask[crow-r:crow+r, ccol-r:ccol+r] = 0  # 中心区域置零# 应用滤波器
fft_filtered = fft_shifted * mask# 逆傅里叶变换
fft_ishift = np.fft.ifftshift(fft_filtered)
filtered_image = np.abs(np.fft.ifft2(fft_ishift))# 可视化结果
plt.figure(figsize=(15, 10))plt.subplot(231)
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title('原始图像')plt.subplot(232)
plt.imshow(noisy_image, cmap='gray')
plt.title('带噪声图像')# 频谱可视化（对数缩放）
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fft_shifted)+1)
plt.subplot(233)
plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('频谱图')plt.subplot(234)
plt.imshow(mask, cmap='gray')
plt.title('高通滤波器')plt.subplot(235)
plt.imshow(filtered_image, cmap='gray')
plt.title('边缘增强结果')# 与原图比较
plt.subplot(236)
plt.imshow(np.clip(filtered_image*2, 0, 1), cmap='gray')  # 增强对比度
plt.title('增强效果')plt.tight_layout()
plt.savefig('image_edge_enhancement.png', dpi=120)
plt.show()

具体效果自己看吧 ：）

两个Python示例完整展示了傅里叶变换在信号降噪和图像边缘增强中的应用，代码可直接复制运行（需安装numpy, matplotlib, scikit-image）

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6. 总结

傅里叶变换是一座连接时域和频域的桥梁。它通过将复杂信号分解成最基本、最易于理解的正弦波（复指数）分量，为我们提供了分析和处理信号的强大工具。理解傅里叶变换不仅需要掌握其数学公式，更要理解其物理意义和核心思想：

任何信号都可以看作是不同频率振动的叠加。

从古老的傅里叶级数到现代无处不在的 FFT，傅里叶变换深刻地改变了我们处理信息的方式，是信号处理、通信、图像处理、物理等众多领域的基石。如果你想深入信号世界，透彻理解傅里叶变换是必不可少的第一步。

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研究学习不易，点赞易。
工作生活不易，收藏易，点收藏不迷茫 ：）

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