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传染病监测（六）：随机模型 —— 为什么小规模疫情像掷骰子？

news 2025/7/21 7:02:27

开场白：“平均数” 为何会欺瞒？

还记得我们上一篇博客中那个 “每天新增＜1 人” 的天花乱坠式预测吗？

倘若你把 100000 人的大城镇换成 10 人的病房，电脑依旧会给出 “平均每天新增 0.8 个人” 的结果 —— 这听起来精确无比，实际却毫无用处：

这正是 “确定性模型” 的局限所在：它只呈现 “平均剧本”，却忽略了人生中无处不在的意外。

因此，我们今天要请出的嘉宾 ——随机（stochastic）模型，也就是 “看概率的模拟器”。

简而言之：把 “人” 真正当作人来看待，而不是当作 “小数”。

它认可三件事：

方法	昵称	核心思想	适合场景	对电脑要求
1. Individual-based	“每人一个骰子”	聚焦每一个个体，逐个通过掷骰子的方式决定其当天是否被感染	人数＜1000 的小群体，如医院、养老院	内存消耗大
2. Discrete-time compartmental	“一群人的骰子”	不再关注个体，只关注 “当天会新增几例”—— 一次性抽取一个随机数	人数在 1000–10000 人之间	中等
3. Continuous-time (Gillespie)	“等待下一件大事”	不关注 “今天”，而是关注 “下一分钟还是下一秒会出现新病例”	任何规模，适合编写代码时使用	速度不确定

如果你习惯使用 Excel，方法 1 和方法 2 都可以通过拖拽公式来实现；

如果你会使用 R/Python，方法 3 就如同给模型装上了涡轮加速器。

我们采用方法 1来模拟一次，看看充满 “概率” 的世界是怎样的。

给 10 个人各生成一个 0–1 之间的随机数：

床位	随机数	结果
2 号	0.0067	＜0.2→被感染，成为传染者
其余	＞0.2	未被感染

新增病例：1 例。

病房状态：1 人免疫，1 人发病，8 人处于易感状态。

现在有 1 个传染者，继续对 8 个易感者各进行一次 “掷骰子”—— 结果有 3 个人 “运气不佳”，被感染。

累计病例：1 + 3 = 4 例。

传染者增加到 3 人，被感染的概率飙升至$ 1-(1-0.2)^3 \approx 48.8% $。又新增 4 例。此时病房里只剩 1 个未被感染的人。

最后一个易感者幸运地躲过了 48.8% 的感染概率，模拟结束。总感染人数：1 + 3 + 4 = 8 人。

你在 Excel 中按一下 F9 重新计算，会发现每次的模拟结果都不一样 —— 有时所有人都会被感染，有时只感染 2 人。这就是随机模型的核心：

概率分布比单一结果更能反映真实情况。

上面提到的$ 1-(1-p)^I $就是著名的Reed-Frost 方程。

它比 “$ \beta \times I $” 更贴合实际：

当$ I=1 $时，两者结果相近；
当$ I=5 $时，$ \beta \times I $会错误地显示传染风险为 100%，而 Reed-Frost 方程则表明 “只有 67%，因为一个人不会同时被 5 个人传染 5 次”。

随机模型最忌讳 “以偏概全”。

一个实验：针对同一个 10 人病房，分别模拟 20 次、50 次、500 次、2000 次，将最终感染人数绘制成直方图：

结论：不要用一次模拟的结果去向上级汇报。

日常撰写报告时，至少模拟 500 次；发表 SCI 论文时，模拟 2000 次起步。当然，一个for循环就可以搞定

从疫情暴发倒推

英国在 1995-1998 年记录了 14 起 3–4 人的麻疹暴发、4 起 5–9 人的麻疹暴发、2 起 10–24 人的麻疹暴发以及 1 起≥100 人的麻疹暴发。将这些数据代入公式，反推出净再生数$ R_n \approx 0.5-0.6 $，由此判断 “疫情不会持续传播”，避免了不必要的疫苗恐慌。
小岛麻疹的消失与临界人口规模

实际数据显示，人口＜25 万的岛屿，麻疹会 “销声匿迹” 几个月，直到有外部输入病例。随机模型计算得出 “临界社区规模” 约为 25–30 万人，与实际观察结果几乎完全一致。
医院中的 “手卫生” 影响

某 ICU 通过随机模型模拟 365 天发现，即使每天进行 14 次手卫生，仍有 30% 的模拟会出现 “全年零星感染”、10% 的模拟会出现 “疫情暴发”、60% 的模拟则无感染病例 —— 这告诉院长：不能因为一次无感染就放松警惕，也不能因为一次疫情暴发就撤换主任。