由几道数量关系考题引起的思考

由几道数量关系考题引起的思考

考试题，解题时间不能太长，“限时性” 倒逼我们在多种解法中选择最优路径，这种 “在有限条件下追求效率最大化” 的思维，是数学优化思想的生活化应用 —— 数学从不只关注 “能否解决问题”，更关注 “如何高效解决问题”，这与工程优化、资源分配等现实场景中的核心需求高度契合。

下面以几道数量关系题为例介绍，如何快速解答这类题？这些案例展示了在有限时间内选择高效解题方法的价值，体现了数学优化思想在实际问题中的应用。解题过程强调：不仅要找到答案，更要追求最有效的解决路径。

不同的情境下，需要采用不同的策略。数学问题千变万化，情境不同，其核心矛盾、关键变量、隐含规律也各不相同，因此必须根据具体情境选择适配的策略，才能高效解题。

所谓数学解题的 灵活度，本质是对 “情境特征” 的敏感度 —— 能快速判断 “这个问题的核心矛盾是什么？哪种方法能最直接地破解矛盾？”。这种能力的培养，比记住公式更重要：它让你在面对陌生问题时，不会陷入 “只会一种方法硬套” 的困境，而是能灵活切换思路，找到最优解。这正是数学思维 “活学活用” 的体现。

1、一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）。

A.16    B.25    C.52   D.61

方法一：方程法

设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b。

设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b。

由 “十位数字与个位数字之和是 7”，可得：a + b = 7  …… （1）

这个两位数可表示为10a + b，对调后的数可表示为10b + a。

由 “这个两位数加上 45 等于对调后的数”，可得：10a + b + 45 = 10b + a。整理化简得：a - b = -5  …… （2）

解（1）和 （2）形成得方程组得：

a = 1，b = 6

因此，这个两位数是10a + b =  16。

方法二：代入验证法

逐一验证选项：

逐一验证选项：

A. 16：十位与个位之和为1 + 6 = 7，符合条件；16 + 45 = 61，61 是 16 对调后的数，符合条件。

B. 25：25 + 45 = 70 ≠ 52 （对调后），不符合。

C. 52：52 + 45 = 97 ≠ 25)（对调后），不符合。

D. 61：61 + 45 = 106)（三位数，显然不对），不符合。

特别提示，找到符合项，后面其实不用试了。

答案是A。

2、在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生报考。已知报考A岗位男生数与女生数的比为5：3，报考B岗位男生数与女生数的比为2：1，报考A岗位的女生数是（）。

A.15    B.16    C.12    D.10

方法一：

设：

报考A岗位的男生为：5x

报考A岗位的女生为：3x

报考B岗位的男生为：2y

报考B岗位的女生为：y

根据总人数列出方程：

男生总数：

5x + 2y = 32  …… (1)

女生总数：

3x + y = 18  …… (2)

解（1）和 （2）形成得方程组得：

x = 4，y = 6

求报考A岗位的女生数：3x = 3×4 = 12

方法二：

由于 A 岗位男女生比为 5:3，女生人数占 3 份，因此报考 A 岗位的女生数一定是 3 的倍数。选项中，B（16）和 D（10）都不是 3 的倍数，可直接排除，仅剩 A（15）和 C（12）。

代入A（15）：

A岗位女生 = 15，则男生 = 15 × 5/3 = 25；

B岗位女生 = 18 - 15 = 3，则男生= 3 × 2 =6；

总男生 = 25 + 6 = 31≠32，排除A；

代入B（12）：

A岗位女生 = 15，则男生 = 12 × 5/3 = 20；

B岗位女生 = 18 - 12 = 6，则男生 = 6 × 2 = 12；

总男生 = 20 + 12 = 32，总女生数为 12 + 6= 18，符合题意。

因此，选项为C（12）。

3、甲、乙、丙三个蔬菜基地共存放了5200吨蔬菜，如果从甲基地运出544吨放到乙基地后，乙基地的蔬菜比丙基地多800吨，且此时甲、乙基地的蔬菜重量比为7:4，则甲基地原有蔬菜吨数为（）。

A.2256   B.2800   C.3059   D.3344

方法一：若直接设甲、乙、丙原有的吨数分别为X、Y、Z，则可得：X + Y + Z = 5200，Y + 544 – Z = 800，(X - 544)：(Y + 544) = 7：4，解这三个方程组成得组，相对复杂和费时。

方法二：若设后来的甲基地为7X，则乙为4X，丙为5200-11X，可得：4X – 5200 + 11X = 800，比较容易得出X = 400，所求为7X + 544 = 3344，故选择D选项。

【设从甲基地运出 544 吨后，甲基地的蔬菜量为7x吨（根据甲、乙此时的比例 7:4），则乙基地此时的蔬菜量为4x吨。由 “此时乙基地比丙基地多 800 吨”，可得丙基地此时的蔬菜量为：4x - 800吨。

利用总重量不变列方程三个基地的总蔬菜量始终是 5200 吨（仅甲、乙之间转移，总量不变），因此变化后三者重量之和为 5200 吨：7x + 4x + (4x - 800) = 5200

解之： x = 400

计算甲基地变化后的重量及原有重量变化后甲基地的蔬菜量为：7x = 7 × 400 = 2800吨。由于甲基地运出了 544 吨，因此原有重量为：2800 + 544 = 3344吨。】