五分钟学会大数定律【笔记】

参考教程

五分钟学会大数定律

大数定律

一、定义

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，记：

• 样本均值：$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$
• 总体期望：$EX=\mu$

则当 $n\to \infty$ 时，样本均值依概率收敛于总体期望，即：
$\bar{X}\stackrel{P}{⟶}\mu (n\to \infty )$

二、大数定律 - 抛硬币示例

设随机变量 ( X ) 表示抛硬币结果：

• 正面（记为 ( +1 ) ），概率 $P(X=1)=\frac{1}{2}$
• 反面（记为 ( -1 ) ），概率 $P(X=-1)=\frac{1}{2}$

即 X 的分布为：
$$X\sim \{\begin{array}{ll}1,& P=\frac{1}{2}\\ -1,& P=\frac{1}{2}\end{array}$$
期望计算：
$EX=1\times \frac{1}{2}+(-1)\times \frac{1}{2}=0$