当前位置: 首页 > news >正文

切比雪夫不等式的理解以及推导【超详细笔记】

文章目录

参考教程

一个视频,彻底理解切比雪夫不等式

一、意义

1. 正态分布的 3σ 法则

  • 不等式:切比雪夫不等式 P{∣X−EX∣≥ε}≤DXε2P\{|X - EX| \geq \varepsilon\} \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}P{XEXε}ε2DX,用于描述随机变量偏离期望的概率上界
  • 法则:正态分布的 3σ 法则
    在这里插入图片描述
  • 分布表示:正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2)(图中标注对应分布形态 )
  • 概率占比
    • μ±σ\mu \pm \sigmaμ±σ 区间概率约 68.2%
    • μ±2σ\mu \pm 2\sigmaμ±2σ 区间概率约 95.4%
    • μ±3σ\mu \pm 3\sigmaμ±3σ 区间概率约 99.7%

2. 不等式的含义

切比雪夫不等式公式的另一种形式:

P{∣X−EX∣<ε}≥1−DXε2P\{|X - EX| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{DX}{\varepsilon^2} P{XEX<ε}1ε2DX

(其中 ( X ) 是随机变量,( EX ) 为其期望,( DX ) 为方差,( \varepsilon ) 是任意正数 )

∣X−EX∣|X - EX|XEX就是X到均值的距离
这个公式就是∣X−EX∣<ε|X - EX| < \varepsilonXEX<ε这件事的概率做估计

3. 不等式的意义

  • ε\varepsilonε = σ\sigmaσ 时:
    P{∣X−EX∣<σ}≥1−σ2σ2=0P\{|X - EX| < \sigma\} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 0 P{XEX<σ}1σ2σ2=0

  • ε\varepsilonε = 2σ2\sigma2σ 时:
    P{∣X−EX∣<2σ}≥1−σ2(2σ)2=1−14=34=75%P\{|X - EX| < 2\sigma\} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 75\% P{XEX<2σ}1(2σ)2σ2=141=43=75%
    由此可见切比雪夫的估计比较保守

假如随便画一个分布,求阴影部分概率,切比雪夫不等式告诉我们这个概率一定大于等于75%,这就是其高明之处
在这里插入图片描述

二、不等式的证明

1. 马尔科夫不等式

  • 公式:P{Y≥a}≤EYaP\{ Y \geq a \} \leq \frac{EY}{a}P{Ya}aEY (YYY 取非负 )
    在这里插入图片描述

马尔可夫不等式证明(YYY 为非负随机变量 )

  1. 由期望定义,YYY 的数学期望:
    EY=∫0+∞y⋅f(y)dyEY = \int_{0}^{+\infty} y \cdot f(y) \, dyEY=0+yf(y)dy

  2. Y≥0Y \geq 0Y0,且积分区间可拆分,当y≥ay \geq ayay≥ay \geq aya,故:
    EY≥∫a+∞y⋅f(y)dy≥∫a+∞a⋅f(y)dyEY \geq \int_{a}^{+\infty} y \cdot f(y) \, dy \geq \int_{a}^{+\infty} a \cdot f(y) \, dyEYa+yf(y)dya+af(y)dy

  3. 化简右侧积分:
    ∫a+∞a⋅f(y)dy=a⋅∫a+∞f(y)dy=a⋅P{Y≥a}\int_{a}^{+\infty} a \cdot f(y) \, dy = a \cdot \int_{a}^{+\infty} f(y) \, dy = a \cdot P\{ Y \geq a \}a+af(y)dy=aa+f(y)dy=aP{Ya}

  4. 综上,整理得:
    P{Y≥a}≤EYaP\{ Y \geq a \} \leq \frac{EY}{a}P{Ya}aEY

2. 切比雪夫不等式推导

  1. 基础:马尔可夫不等式
    P{Y≥a}≤EYaP\{ Y \geq a \} \leq \frac{EY}{a}P{Ya}aEY
    (其中 ( Y ) 为非负随机变量 )

  2. 变量代换:
    Y=(X−EX)2Y = (X - EX)^2Y=(XEX)2a=ε2a = \varepsilon^2a=ε2

  3. 代入推导:

    • 第一步推导:
      P{(X−EX)2≥ε2}≤E[(X−EX)2]ε2P\{ (X - EX)^2 \geq \varepsilon^2 \} \leq \frac{E\left[(X - EX)^2\right]}{\varepsilon^2}P{(XEX)2ε2}ε2E[(XEX)2]
    • E[(X−EX)2]=DXE\left[(X - EX)^2\right] = DXE[(XEX)2]=DX(方差定义 ),且 (X−EX)2≥ε2⇔∣X−EX∣≥ε(X - EX)^2 \geq \varepsilon^2 \Leftrightarrow |X - EX| \geq \varepsilon(XEX)2ε2XEXε ,进一步得:
      P{∣X−EX∣≥ε}≤DXε2P\{ |X - EX| \geq \varepsilon \} \leq \frac{DX}{\varepsilon^2}P{XEXε}ε2DX
http://www.lryc.cn/news/591352.html

相关文章:

  • 【Linux手册】缓冲区:深入浅出,从核心概念到实现逻辑
  • 2025年6月GESP(C++一级):假期阅读
  • 多线程--sem_wait(sem)特殊用法
  • 【原创】【图像算法】高精密电子仪器组装异常检测
  • 24、鸿蒙Harmony Next开发:不依赖UI组件的全局自定义弹出框 (openCustomDialog)
  • java之json转excel生成
  • AppTrace:重新定义免填邀请码,解锁用户裂变新高度
  • IMU噪声模型
  • JxBrowser 7.43.5 版本发布啦!
  • ubuntu 开启ssh踩坑之旅
  • 加速度传感器方向校准方法
  • 原生前端JavaScript/CSS与现代框架(Vue、React)的联系、区别与运行环境(精简版)
  • 关于用git上传远程库的一些常见命令使用和常见问题:
  • Python爬虫入门到实战(2)-selenium驱动浏览器
  • 静态住宅IP和节点有什么区别?哪种更适合你的需求?
  • Redis完全指南:从基础到实战(含缓存问题、布隆过滤器、持久化及Spring Boot集成)
  • redis速记
  • 【WPF】WPF 自定义控件之依赖属性
  • springboot打包二次压缩Excel导致损坏
  • 【Linux基础知识系列】第五十四篇 - 网络协议基础:TCP/IP
  • 深入GPU硬件架构及运行机制
  • 鸿蒙UI自动化测试框架Hypium的使用指南
  • springboot跨域问题 和 401
  • 解锁数据分析:从基础概念到核心指标的全面指南
  • 数据分析:从数据到决策的核心逻辑与实践指南
  • 电脑DLL错误修复dll微软运行库工具修复dll缺失找不到dll等问题,dll免费修复工具
  • Servlet概述
  • 基于arduino单片机汽车智能电子防碰撞装置设计
  • linux_线程同步
  • 一文掌握Harbor的配额管理和GC机制