剑指offer62_骰子的点数

骰子的点数

将一个骰子投掷 n 次，获得的总点数为 s，s 的可能范围为 n∼6n。

掷出某一点数，可能有多种掷法，例如投掷 2 次，掷出 3 点，共有 [1,2],[2,1] 两种掷法。

请求出投掷 n 次，掷出 n∼6n 点分别有多少种掷法。

数据范围

1≤n≤10

样例1

输入：n=1输出：[1, 1, 1, 1, 1, 1]解释：投掷1次，可能出现的点数为1-6，共计6种。每种点数都只有1种掷法。所以输出[1, 1, 1, 1, 1, 1]。

样例2

输入：n=2输出：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]解释：投掷2次，可能出现的点数为2-12，共计11种。每种点数可能掷法数目分别为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1。所以输出[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]。

算法思路

核心思想是通过递推关系式逐步构建不同骰子数量下的点数分布。

关键步骤：

1. 初始化：f[0][0] = 1 表示掷0个骰子时点数和为0的情况只有1种
2. 递推计算：
   • 对于第 i 个骰子（从1到n）
   • 对于可能的点数和 j（从1到6*i）
   • 考虑当前骰子可能出现的点数 k（1到6），累加上一轮 i-1 个骰子时点数和为 j-k 的情况数
3. 收集结果：将掷 n 个骰子时所有可能的点数和（从n到6n）的情况数存入结果数组

时间复杂度

• O(n²)：外层循环n次，中层循环最多6n次，内层循环最多6次，总体复杂度为O(n*(6n)*6)=O(n²)

空间复杂度

• O(n²)：使用了一个(n+1)×(6n+1)的二维数组存储中间结果

class Solution {
public:vector<int> numberOfDice(int n) {vector<int> res;  // 存储最终结果// f[i][j]表示掷i个骰子时点数和为j的情况数vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(6 * n + 1, 0));// 初始条件：掷0个骰子点数和为0的情况有1种f[0][0] = 1;// 动态规划递推for(int i = 1; i <= n; i++) {            // 逐个增加骰子数量for(int j = 1; j <= 6 * i; j++) {    // 当前可能的点数和范围for(int k = 1; k <= min(j, 6); k++) { // 当前骰子的点数// 当前情况数等于之前i-1个骰子时点数和为j-k的情况数之和f[i][j] += f[i - 1][j - k];}}}// 收集n个骰子的所有可能结果（点数和从n到6n）for(int i = n; i <= n * 6; i++) {res.push_back(f[n][i]);}return res;}
};

实例演示

输入：n = 2
输出：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

执行过程：

1. 初始化：f[0][0] = 1
2. 掷1个骰子：
   • f[1][1] = f[0][0] = 1
   • f[1][2] = f[0][1] = 1
   • …
   • f[1][6] = f[0][5] = 1
3. 掷2个骰子：
   • f[2][2] = f[1][1] = 1
   • f[2][3] = f[1][2] + f[1][1] = 2
   • f[2][4] = f[1][3] + f[1][2] + f[1][1] = 3
   • …
   • f[2][12] = f[1][6] = 1
4. 最终结果：f[2][2]到f[2][12]的值[1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]

输出结果：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

关键点总结

1. 动态规划思想：将问题分解为子问题，利用已解决的子问题结果求解当前问题
2. 状态定义：f[i][j]表示掷i个骰子时点数和为j的情况数
3. 递推关系：当前状态由前一轮的多个状态决定（取决于当前骰子的点数）
4. 边界处理：注意点数和的最小值（n）和最大值（6n）