多元函数的切平面与线性近似：几何直观与计算方法

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引言：从切线到切平面的自然推广

在单变量微积分中，我们使用切线来近似函数在某点附近的行为。对于多元函数，这个角色由切平面来承担。切平面不仅是重要的几何对象，更是理解多元函数局部性质的关键工具。本文将详细介绍切平面的定义、几何意义，并通过具体示例展示如何求切平面方程和构建线性近似。

一、切平面的定义与几何意义

1. 形式化定义

对于可微的二元函数 $z=f(x,y)$，在点 $(a,b,f(a,b))$ 处的切平面方程为：

$$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$$

其中：

• $f_x(a,b)$ 和 $f_y(a,b)$ 分别是 $f$ 在 $(a,b)$ 处的偏导数
• $(x-a)$ 和 $(y-b)$ 是相对于切点的位移量

2. 几何解释

切平面是在给定点与曲面最紧密接触的平面，具有以下特性：

• 包含曲面上该点的所有切线
• 在切点附近与曲面的偏差最小（二阶无穷小）
• 提供了曲面在该点邻域的最佳线性近似

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 定义函数和偏导数
def f(x,y): return x**2 + y**2
def fx(x,y): return 2*x
def fy(x,y): return 2*y# 切点
a, b = 1, 1
z0 = f(a,b)# 切平面函数
def tangent_plane(x,y):return z0 + fx(a,b)*(x-a) + fy(a,b)*(y-b)# 创建网格
x = np.linspace(-2,2,20)
y = np.linspace(-2,2,20)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
Z = f(X,Y)
Z_tan = tangent_plane(X,Y)# 绘制
fig = plt.figure(figsize=(10,7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X,Y,Z, alpha=0.7, label='曲面 $z=x^2+y^2$')
ax.plot_surface(X,Y,Z_tan, alpha=0.5, color='r', label='切平面')
ax.scatter([a],[b],[z0], color='k', s=50)
ax.set_title('函数曲面与切平面的几何关系')
ax.legend()
plt.show()

3.切平面求解示例

示例1：简单二次曲面

求函数 $f(x,y)=2x^2+y^2$ 在点 $(1,1,3)$ 处的切平面方程。

步骤：

1. 计算偏导数：
   • $f_x=4x\Rightarrow f_x(1,1)=4$
   • $f_y=2y\Rightarrow f_y(1,1)=2$
2. 代入切平面公式：
   $$z=3+4(x-1)+2(y-1)$$
   化简得：
   $$4x+2y-z-3=0$$

示例2：超越函数

求 $f(x,y)=e^x\sin y$ 在 $(\ln 2,\pi /4)$ 处的切平面。

步骤：

1. 计算函数值和偏导数：
   • $f(\ln 2,\pi /4)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
   • $f_x=e^x\sin y\Rightarrow f_x(\ln 2,\pi /4)=\sqrt{2}$
   • $f_y=e^x\cos y\Rightarrow f_y(\ln 2,\pi /4)=\sqrt{2}$
2. 切平面方程：
   $$z=\sqrt{2}+\sqrt{2}(x-\ln 2)+\sqrt{2}(y-\pi /4)$$

二、线性近似的概念与公式

1. 线性近似公式

函数 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 附近的线性近似（也称为一阶近似）为：

$$L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$$

2. 近似精度

线性近似的误差随着 $(x,y)$ 远离 $(a,b)$ 而增大，但在足够小的邻域内：

$$f(x,y)\approx L(x,y)+\text{高阶小量}$$

3. 线性近似应用示例

示例3：近似计算

用线性近似估算 $(1.02{)}^3+(1.97{)}^2$ 的值。

解法：

1. 设 $f(x,y)=x^3+y^2$，在 $(1,2)$ 处近似
2. 计算：
   • $f(1,2)=1+4=5$
   • $f_x=3x^2\Rightarrow f_x(1,2)=3$
   • $f_y=2y\Rightarrow f_y(1,2)=4$
3. 线性近似：
   $$L(1.02,1.97)\approx 5+3(0.02)+4(-0.03)=5+0.06-0.12=4.94$$
   实际值：$\approx 4.9412$，误差仅 0.02%

示例4：误差估计

测量长方体边长 $x=2\text{m}$，$y=3\text{m}$，$z=4\text{m}$，可能有最大 0.1cm 的测量误差，估计体积的最大误差。

解法：

1. 体积 $V(x,y,z)=xyz$
2. 线性近似：
   $$\Delta V\approx V_x\Delta x+V_y\Delta y+V_z\Delta z=yz\Delta x+xz\Delta y+xy\Delta z$$
3. 在 $(2,3,4)$ 处：
   $$\Delta V\approx 12(0.001)+8(0.001)+6(0.001)=0.026{\text{m}}^3$$

五、切平面存在条件

1. 可微性要求

切平面存在的充分条件是函数在该点可微，即：

• 所有偏导数存在
• 函数在该点的增量可以表示为：
  $$\Delta f=f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y+{ϵ}_1\Delta x+{ϵ}_2\Delta y$$
  其中当 $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$ 时 ${ϵ}_1,{ϵ}_2\to 0$

2. 反例分析

示例5：函数 $f(x,y)=|x|+|y|$ 在 $(0,0)$ 处

• 偏导数不存在（如前面所述）
• 不存在切平面
• 锥点处无法找到良好的线性近似

六、总结与应用

1. 核心公式对比

概念	公式	用途
切平面	$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$	几何表示
线性近似	$L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$	数值估算

2. 典型应用场景

• 工程优化：局部线性化简化复杂问题
• 误差分析：测量误差的传播估计
• 机器学习：梯度下降法的基础
• 物理建模：小振动近似等

3. 学习要点

1. 切平面是单变量切线在多元情形的自然推广
2. 线性近似公式本质是一阶泰勒展开
3. 可微性比偏导数存在性要求更强
4. 在实际应用中要注意近似的有效范围

理解切平面和线性近似是掌握多元微分学的关键一步，它们为后续学习方向导数、梯度和优化问题奠定了重要基础。通过本文的几何解释和具体示例，希望您能建立起对这两个概念的直观理解。