一、永磁同步电机矢量控制——电机数学模型

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资源链接：电机相关仿真和资料（暂未更新，后续再提供）

又多了一个研究方向，主要做电机控制，陆续会学习电机控制原理、simulink仿真、硬件设计和代码实现，太久没有写博客了，希望和大家一起进步。

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💧 永磁同步电机的数学模型

为便于对永磁同步电机（PMSM）进行建模与控制分析，我们通常在分析初期做出以下基本假设，这些假设有助于将系统简化为线性、解耦的模型，便于推导与控制器设计：

🔥 永磁同步电机建模的基本假设

1. 忽略电机铁芯的饱和效应以及涡流和磁滞损耗；
2. 永磁体磁场与三相绕组感应磁场均呈理想正弦分布；
3. 电压与电流波形都为三相对称的理想正弦波，无高次谐波，忽略槽效应和空间谐波；
4. 永磁体磁场与三相绕组感应磁场均呈理想正弦分布；
5. 假设转子不含阻尼绕组，永磁体不具备阻尼特性；

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🔥 一、三相静止坐标系下定子电压方程

1.1 三相定子电压方程

PMSM 的三相定子电压方程为：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=R_s\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]+\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\psi }_a\\ {\psi }_b\\ {\psi }_c\end{array}\right]$$

其中：

• $R_s$ 为每相电阻；
• ${\psi }_{a,b,c}$ 为定子三相磁链。

1.2 磁链方程

$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_a\\ {\psi }_b\\ {\psi }_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{L}_{aa}& M_{ab}& M_{ac}\\ M_{ba}& L_{bb}& M_{bc}\\ M_{ca}& M_{cb}& L_{cc}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\psi }_{fa}\\ {\psi }_{fb}\\ {\psi }_{fc}\end{array}\right]$$

对于对称三相绕组，忽略互感且各相自感相同（记为L），只保留激励磁链（ψ_f）对应分量，有：

$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_a\\ {\psi }_b\\ {\psi }_c\end{array}\right]=L\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]+{\psi }_f\left[\begin{array}{c}\cos (\theta )\\ \cos (\theta -2\pi /3)\\ \cos (\theta +2\pi /3)\end{array}\right]$$

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🔥 二、Clark 变换（三相静止坐标系到静止α-β坐标系）

将三相坐标变换为 α-β 静止坐标：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_a\\ x_b\\ x_c\end{array}\right]$$

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🔥 三、Park 变换（静止αβ坐标系到旋转d-q坐标系）

进一步将 α-β 坐标变换到旋转坐标系 d-q：

$$\left[\begin{array}{c}{x}_d\\ x_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\end{array}\right]P\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_d\\ x_q\end{array}\right]=P^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_d\\ x_q\end{array}\right]$$

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🔥 四、α-β 坐标系下的电压方程、磁链表达式、电磁转矩表达式

α-β 坐标系下的电压方程

表贴式电机的电压方程

由三相静止坐标系通过 Clarke 变换可得 αβ 坐标系下电压方程为，表贴式的比较简单：

$$\begin{array}{rl}{u}_{\alpha }& =R{i}_{\alpha }+\frac{d{\psi }_{\alpha }}{dt}\\ u_{\beta }& =R{i}_{\beta }+\frac{d{\psi }_{\beta }}{dt}\end{array}$$

内置式电机的电压方程

由三相静止坐标系通过 Clarke 变换可得 αβ 坐标系下电压方程为，内置式的比较复杂，如下：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=R_s\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+L_d\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+{\omega }_e(L_d-L_q)\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+{\psi }_f{\omega }_e\left[\begin{array}{c}-\sin {\theta }_e\\ \cos {\theta }_e\end{array}\right]$$

α-β 坐标系下的磁链表达式

$$\begin{array}{rl}{\psi }_{\alpha }& =L{i}_{\alpha }+{\psi }_{f,\alpha }\\ {\psi }_{\beta }& =L{i}_{\beta }+{\psi }_{f,\beta }\end{array}$$

其中：

• 对于表贴式永磁同步电机（SPMSM）：

  $${\psi }_{f,\alpha }={\psi }_f\cos \theta ,{\psi }_{f,\beta }={\psi }_f\sin \theta$$

  即磁链为空间矢量，随转子旋转。

电磁转矩表达式（α-β）

电磁转矩可以用磁链-电流矢量叉乘公式表示：

$$T_e=\frac{3}{2}{n}_p({\psi }_{\alpha }{i}_{\beta }-{\psi }_{\beta }{i}_{\alpha })$$

这个公式对观察转矩来源于磁链与电流的正交性非常有帮助，也常用于滑模控制或直接转矩控制（DTC）算法。

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🔥 五、d-q 坐标系下的电压方程、磁链表达式、电磁转矩表达式

d-q 坐标系下的电压方程

采用变换后，PMSM 在 d-q 坐标系下的电压方程为：

$$\begin{array}{rl}{u}_d& =R{i}_d+\frac{d{\psi }_d}{dt}-{\omega }_e{\psi }_q\\ u_q& =R{i}_q+\frac{d{\psi }_q}{dt}+{\omega }_e{\psi }_d\end{array}$$

磁链表达式

若电机为 IPMSM（非凸极结构）：

$$\begin{array}{rl}{\psi }_d& =L_d{i}_d+{\psi }_f\\ {\psi }_q& =L_q{i}_q\end{array}$$

若为 SPMSM（表贴式）且 $L_d=L_q$：

$${\psi }_d=L{i}_d+{\psi }_f,{\psi }_q=L{i}_q$$

电磁转矩表达式

$$T_e=\frac{3}{2}{n}_p({\psi }_d{i}_q-{\psi }_q{i}_d)=\frac{3}{2}{n}_p\left[{\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q\right]$$

其中：

• $n_p$：极对数；

• 若为 SPMSM，$L_d=L_q$，则转矩简化为：

  $$T_e=\frac{3}{2}{n}_p{\psi }_f{i}_q$$

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🔥 六、α-β 坐标系的各方程与d-q 坐标系的变换过程

这部分对于想细致了解建模过程的人挺重要的，大家可以自己推导一下。这里我不从电机本体方程出发，那样太复杂了，想要看更详细的可以参考我给出的参考文献。

电压方程的转换

从 dq 坐标系电压方程严格推导到 αβ 坐标系电压方程的完整过程如下

1. 第一步：dq 轴电压方程
   $$\{\begin{array}{l}{u}_d=R{i}_d+L_d\frac{d{i}_d}{dt}-{\omega }_e{L}_q{i}_q\\ u_q=R{i}_q+L_q\frac{d{i}_q}{dt}+{\omega }_e{L}_d{i}_d+{\omega }_e{\psi }_f\end{array}$$

2. dq → αβ 坐标逆变换
   我们使用：
   $$\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_d\\ x_q\end{array}\right]$$

3. 磁链表达式在 dq 轴下的定义
   $${\psi }_d=L_d{i}_d+{\psi }_f,{\psi }_q=L_q{i}_q$$
   变换到 αβ 轴：
   $$\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\psi }_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\psi }_d\\ {\psi }_q\end{array}\right]$$
   代入后整理得：
   $$\begin{array}{rl}{\psi }_{\alpha }& =(L_d{i}_d+{\psi }_f)\cos \theta -L_q{i}_q\sin \theta \\ {\psi }_{\beta }& =(L_d{i}_d+{\psi }_f)\sin \theta +L_q{i}_q\cos \theta \end{array}$$

4. 对 αβ 磁链求导数，链式法则
   由于角度 ${\theta }_e$ 随时间变化：
   $$\frac{d{\theta }_e}{dt}={\omega }_e$$
   所以：
   $$\frac{d{\psi }_{\alpha }}{dt}=\frac{d}{dt}[(L_d{i}_d+{\psi }_f)\cos {\theta }_e-L_q{i}_q\sin {\theta }_e]$$
   展开后注意对 $i_d$、$i_q$、${\theta }_e$ 全部求导：
   $$\frac{d{\psi }_{\alpha }}{dt}=L_d\frac{d{i}_d}{dt}\cos {\theta }_e-L_q\frac{d{i}_q}{dt}\sin {\theta }_e-(L_d{i}_d+{\psi }_f){\omega }_e\sin {\theta }_e-L_q{i}_q{\omega }_e\cos {\theta }_e$$
   同理，可得出 $\frac{d{\psi }_{\beta }}{dt}$。

5. 代入 αβ 电压方程

$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=R_s\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\psi }_{\beta }\end{array}\right]$$

将刚才对 ${\psi }_{\alpha }$、${\psi }_{\beta }$ 的导数表达式代入后，最终得出：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]=R_s\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+L_d\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+{\omega }_e(L_d-L_q)\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+{\psi }_f{\omega }_e\left[\begin{array}{c}-\sin {\theta }_e\\ \cos {\theta }_e\end{array}\right]$$

6. 总结矩阵形式
   最终 αβ 坐标下 PMSM 电压方程为：

$$\boxed{{\vec{u}}_{\alpha \beta }=R_s{\vec{i}}_{\alpha \beta }+L_d\frac{d}{dt}{\vec{i}}_{\alpha \beta }+{\omega }_e(L_d-L_q)\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]{\vec{i}}_{\alpha \beta }+{\psi }_f{\omega }_e\left[\begin{array}{c}-\sin {\theta }_e\\ \cos {\theta }_e\end{array}\right]}$$

磁链表达式的转换

我们也将磁链表达式从 αβ 到 d-q 的逐步变换。

在 αβ 坐标下，磁链由以下式子给出：

$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\psi }_{\beta }\end{array}\right]=L\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\psi }_{f,\alpha }\\ {\psi }_{f,\beta }\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中：

• $L$：相当于 Ld、Lq；
• ${\psi }_{f,\alpha },{\psi }_{f,\beta }$：永磁体在 αβ 坐标下的投影。

但由于永磁体磁链 ${\psi }_f$ 固定在 d 轴，我们有：

$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_{f,\alpha }\\ {\psi }_{f,\beta }\end{array}\right]={\psi }_f\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]$$

现在我们将 (4) 左右两边做 Park 变换：

$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_d\\ {\psi }_q\end{array}\right]=P(\theta )\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\psi }_{\beta }\end{array}\right]=L\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]+P(\theta ){\psi }_f\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]$$

进行矩阵乘法：

$$P(\theta )\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \\ -\sin \theta \cos \theta +\cos \theta \sin \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

所以最终磁链表达式为：

$$\begin{array}{rl}{\psi }_d& =L_d{i}_d+{\psi }_f\\ {\psi }_q& =L_q{i}_q\end{array}$$

反过来也同理。

电磁转矩表达式的转换

这里对磁链和电流都进行Park变换或者逆Park变换，计算得到的结果都一致。
$$T_e=\frac{3}{2}{n}_p({\psi }_d{i}_q-{\psi }_q{i}_d)=\frac{3}{2}{n}_p({\psi }_{\alpha }{i}_{\beta }-{\psi }_{\beta }{i}_{\alpha })$$

它表示的是：磁链和电流两个向量在 αβ 坐标系中的叉积，与它们在 dq 坐标系下的叉积恒等。

$${\psi }_{\alpha }{i}_{\beta }-{\psi }_{\beta }{i}_{\alpha }={\psi }_d{i}_q-{\psi }_q{i}_d$$

因为 Park 变换是正交变换（即旋转矩阵变换），这种变换 保持向量的长度和夹角，因而 保持向量之间的内积、外积（即“功率形式”）不变。

也就是说，这一恒等式其实表达的是：坐标变换不会改变两向量的叉乘结果。

假设你有磁链与电流向量在 αβ 系：

$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\psi }_{\beta }\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$$

经过 Park 变换（即旋转角 θ）：

$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_d\\ {\psi }_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\psi }_{\beta }\end{array}\right]$$

同理，

$$\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$$

然后计算：

$${\psi }_d{i}_q-{\psi }_q{i}_d$$

将上述两式代入计算，会发现结果正好是：

$${\psi }_{\alpha }{i}_{\beta }-{\psi }_{\beta }{i}_{\alpha }$$

这就证明了它是恒等式。大家可以自己带入一步步计算得到，最后化简之后他们是相等的。

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🔥 七、转速角度方程

$$\begin{array}{rl}\frac{d{\omega }_r}{dt}& =\frac{1}{J}\left(T_e-T_L-B{\omega }_r\right)\\ \frac{d\theta }{dt}& ={\omega }_r\end{array}$$

其中：

• ${\omega }_r$：机械角速度；
• $\theta$：转子机械角；
• $J$：转动惯量；
• $B$：阻尼系数；
• $T_L$：负载转矩。

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🔥 八、相关状态方程

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{d{i}_d}{dt}& =\frac{1}{L_d}\left(u_d-R{i}_d+{\omega }_e{L}_q{i}_q\right)\\ \frac{d{i}_q}{dt}& =\frac{1}{L_q}\left(u_q-R{i}_q-{\omega }_e(L_d{i}_d+{\psi }_f)\right)\\ \frac{d{\omega }_r}{dt}& =\frac{1}{J}\left(\frac{3}{2}{n}_p\left[{\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q\right]-T_L-B{\omega }_r\right)\\ \frac{d\theta }{dt}& ={\omega }_r\end{array}}$$

💧 参考文献：

完整的从电机方程的推导过程可参考该博客

💧 后续的大致学习步骤如下：

1. 电机数学模型
2. 有感方波、无感方波控制
3. FOC矢量控制和SVPWM推导
4. 转速环电流环simulink仿真模型
5. 电流环转速环 PI 参数整定
6. 波形记录及其分析
7. MTPA控制
8. 基于id=0的矢量控制动态解耦方案
9. 弱磁控制
10. 位置环速度环电流环三闭环控制系统
11. PMSM最优效率（最小损耗）控制策略
12. 无感方案：高频注入、滑膜观测器、非线性磁链观测器、扩展卡尔曼观测器、龙伯格观测器
13. 观测器改进和优化方案
14. 参数辨识