Goursat问题解的公式推导
题目
问题 7. 求 Goursat 问题的解的公式
u t t − c 2 u x x = 0 , x > c ∣ t ∣ ; (2.C.11) u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0, \quad x > c|t|; \tag{2.C.11} utt−c2uxx=0,x>c∣t∣;(2.C.11)
当 t < 0 t < 0 t<0 时， u ∣ x = − c t = g ( t ) u|_{x=-ct} = g(t) u∣x=−ct=g(t); \tag{2.C.12}
当 t > 0 t > 0 t>0 时， u ∣ x = c t = h ( t ) u|_{x=ct} = h(t) u∣x=ct=h(t). \tag{2.C.13}
其中 g ( 0 ) = h ( 0 ) g(0) = h(0) g(0)=h(0).
解决问题
该问题是一个波动方程的 Goursat 问题。波动方程为 u t t − c 2 u x x = 0 u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0 utt−c2uxx=0，这是一个二阶线性齐次双曲型偏微分方程。边界条件在特征线 x = − c t x = -ct x=−ct（当 t < 0 t < 0 t<0）和 x = c t x = ct x=ct（当 t > 0 t > 0 t>0）上给出，定义域为 x > c ∣ t ∣ x > c|t| x>c∣t∣（楔形区域），且要求 g ( 0 ) = h ( 0 ) g(0) = h(0) g(0)=h(0) 以确保解在原点连续。
解法步骤
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引入特征变量：
令 ξ = x − c t \xi = x - ct ξ=x−ct， η = x + c t \eta = x + ct η=x+ct。
则波动方程化为 u ξ η = 0 u_{\xi \eta} = 0 uξη=0，其通解为：
u ( ξ , η ) = F ( ξ ) + G ( η ) u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta) u(ξ,η)=F(ξ)+G(η)
其中 F F F 和 G G G 是任意函数。在原始变量中，解可写为：
u ( x , t ) = F ( x − c t ) + G ( x + c t ) u(x,t) = F(x - ct) + G(x + ct) u(x,t)=F(x−ct)+G(x+ct) -
应用边界条件：
- 当 t < 0 t < 0 t<0 时，在 x = − c t x = -ct x=−ct 上， u = g ( t ) u = g(t) u=g(t)。代入特征变量：
ξ = x − c t = − c t − c t = − 2 c t , η = x + c t = − c t + c t = 0 \xi = x - ct = -ct - ct = -2ct, \quad \eta = x + ct = -ct + ct = 0 ξ=x−ct=−ct−ct=−2ct,η
- 当 t < 0 t < 0 t<0 时，在 x = − c t x = -ct x=−ct 上， u = g ( t ) u = g(t) u=g(t)。代入特征变量：