【蓝桥杯】动态规划(dp)入门！| 入门动态规划的正确方式! ——学习笔记
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最暴力的dfs --> 记忆化搜索 ---> 递推(dp)
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
递推的公式 = dfs 向下递归的公式
递推数组的初始值 = 递归的边界
动态规划(dp)入门 | 这tm才是入门动态规划的正确方式! | dfs记忆化搜索 | 全体起立!!_哔哩哔哩_bilibili 大佬教学视频，非常细！
题目一：大盗阿福
题目描述
输入格式输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。第二行是 N 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。每家店铺中的现金数量均不超过1000。
输出格式对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
题目分析
题目代码1——最暴力的dfs
题目代码 2——记忆化搜索模板
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
题目代码3——递推(dp)
递推的公式 = dfs 向下递归的公式递推数组的初始值 = 递归的边界
题目代码4——递推(dp)
空间优化
第二题：数字三角形
输入格式
输出格式
输入输出样例
说明/提示
题目代码1——最暴力的dfs
题目代码 2——记忆化搜索模板
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
题目代码3——递推(dp)
递推的公式 = dfs 向下递归的公式递推数组的初始值 = 递归的边界
第三题：01背包问题
题目代码1——最暴力的dfs
题目代码 2——记忆化搜索模板
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
题目代码3——递推(dp)
递推的公式 = dfs 向下递归的公式递推数组的初始值 = 递归的边界
最暴力的dfs --> 记忆化搜索 ---> 递推(dp)
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
递推的公式 = dfs 向下递归的公式
递推数组的初始值 = 递归的边界
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题目一：大盗阿福
题目描述
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。
阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。
他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
输入格式
输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。
第二行是 N 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。每家店铺中的现金数量均不超过1000。输出格式
对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。输入样例
2
3
1 8 2
4
10 7 6 14输出样例
8
24数据范围
T ≤ 50
1 ≤ N ≤ 105提示
对于第一组样例，阿福选择第 2 家店铺行窃，获得的现金数量为 8。
对于第二组样例，阿福选择第 1 和 4 家店铺行窃，获得的现金数量为 10 + 14 = 24。
题目分析
最暴力的dfs --> 记忆化搜索 ---> 递推(dp)
题目代码1——最暴力的dfs
import java.util.Arrays; import java.util.Scanner;public class 大盗阿福_dp {static int t, n;static int arr[] = new int[106];static int mem[] = new int[106];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);t = sca.nextInt();while (t-- > 0) {n = sca.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {arr[i] = sca.nextInt();}System.out.println(dfs(1));}}static int dfs(int x) {//x:表示当前正在考虑哪家店if (x > n) return 0;else return Math.max(dfs(x + 1), dfs(x + 2) + arr[x]);} }
题目代码 2——记忆化搜索模板
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
import java.util.Arrays; import java.util.Scanner;public class 大盗阿福_dp {static int t, n;static int arr[] = new int[106];static int mem[] = new int[106];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);t = sca.nextInt();while (t-- > 0) {n = sca.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {arr[i] = sca.nextInt();}Arrays.fill(mem,0);//每一组记忆化前都要赋值为0System.out.println(dfs(1));}}//mem[i]存的是从第i家店铺开始（i~n）能洗劫到的最大价值static int dfs(int x) {if (mem[x] != 0) return mem[x];//记忆化搜索int sum = 0;if (x > n) sum = 0;else sum = Math.max(dfs(x + 1), dfs(x + 2) + arr[x]);mem[x] = sum;return sum;} }
题目代码3——递推(dp)
递推的公式 = dfs 向下递归的公式
递推数组的初始值 = 递归的边界import java.util.Arrays; import java.util.Scanner;public class 大盗阿福_dp {static int t, n;static int arr[] = new int[106];static int mem[] = new int[106];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);t = sca.nextInt();while (t-- > 0) {n = sca.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {arr[i] = sca.nextInt();}for (int i = n; i > 0; i--) {mem[i] = Math.max(mem[i+1], mem[i+2] + arr[i]);}System.out.println(mem[1]);}} }
题目代码4——递推(dp)
空间优化
import java.util.Arrays; import java.util.Scanner;public class 大盗阿福_dp {static int t, n;static int arr[] = new int[106];static int mem[] = new int[106];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);t = sca.nextInt();while (t-- > 0) {n = sca.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {arr[i] = sca.nextInt();}int sum=0, temp1 = 0, temp2 = 0;for (int i = 1; i <=n; i++) {sum = Math.max(temp1, temp2 + arr[i]);temp2 = temp1;temp1 = sum;}System.out.println(sum);}} }
第二题：数字三角形
观察下面的数字金字塔。
写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。
7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5在上面的样例中,从 7→3→8→7→5 的路径产生了最大
输入格式
第一个行一个正整数 r ,表示行的数目。
后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。
输出格式
单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。
输入输出样例
输入 #1复制
5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5输出 #1复制
30说明/提示
【数据范围】
对于 100% 的数据，1≤r≤1000，所有输入在[0,100] 范围内。
题目代码1——最暴力的dfs
import java.util.Scanner;public class 数字三角形_dp1 {static int n;static int map[][];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);n = sca.nextInt();map = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {map[i][j] = sca.nextInt();}}System.out.println(dfs(1, 1));}static int dfs(int x, int y) {if (x > n || y > n) return 0;else return Math.max(dfs(x + 1, y), dfs(x + 1, y + 1)) + map[x][y];} }
题目代码 2——记忆化搜索模板
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
import java.util.Scanner;public class 数字三角形_dp1 {static int n;static int map[][];static int mem[][];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);n = sca.nextInt();map = new int[1005][1005];mem = new int[1005][1005];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {map[i][j] = sca.nextInt();}}System.out.println(dfs(1, 1));}static int dfs(int x, int y) {if (mem[x][y] > 0) return mem[x][y];int sum = 0;if (x > n || y > n) sum = 0;else sum = Math.max(dfs(x + 1, y), dfs(x + 1, y + 1)) + map[x][y];mem[x][y] = sum;return sum;} }
题目代码3——递推(dp)
递推的公式 = dfs 向下递归的公式
递推数组的初始值 = 递归的边界import java.util.Scanner;public class 数字三角形_dp2 {static int n;static int map[][];static int dp[][];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);n = sca.nextInt();map = new int[1005][1005];dp = new int[1005][1005];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {map[i][j] = sca.nextInt();}}for (int i = n; i >= 1; i--) {//反着推for (int j = 1; j <= n; j++) {//j是从1开始dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + map[i][j];}}System.out.println(dp[1][1]);} }
第三题：01背包问题
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000输入样例
4 5 1 2 2 4 3 4 4 5输出样例：
8
题目代码1——最暴力的dfs
import java.util.Scanner;public class _01背包问题_dp1 {static int n, m,res=0;static int v[] = new int[1005];static int w[] = new int[1005];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);n = sca.nextInt();m = sca.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {v[i] = sca.nextInt();w[i] = sca.nextInt();}res = dfs(1, m);System.out.println(res);}static int dfs(int x, int spV) {//x表示当前考虑第几个物品，spV表示当前剩余的背包体积if (x > n) return 0;//剩余背包体积不够放当前物品时只能不选，考虑下一个物品if (spV < v[x]) return dfs(x + 1, spV);else if (spV >= v[x]) {//当背包剩余体积 > 当前物品体积时 有俩种选择 选/不选return Math.max(dfs(x + 1, spV), dfs(x + 1, spV - v[x]) + w[x]);}return 0;}}
题目代码 2——记忆化搜索模板
记忆化搜索 = 暴力dfs + 记录答案
import java.util.Scanner;public class _01背包问题_dp2 {static int n, m, res = 0;static int v[] = new int[1005];static int w[] = new int[1005];static int mem[][] = new int[1005][1005];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);n = sca.nextInt();m = sca.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {v[i] = sca.nextInt();w[i] = sca.nextInt();}res = dfs(1, m);System.out.println(res);}static int dfs(int x, int spV) {//x表示当前考虑第几个物品，spV表示当前剩余的背包体积if (mem[x][spV] != 0) return mem[x][spV];int sum = 0;if (x > n) sum = 0;//剩余背包体积不够放当前物品时只能不选，考虑下一个物品else if (spV < v[x]) sum = dfs(x + 1, spV);else if (spV >= v[x]) {//当背包剩余体积 > 当前物品体积时 有俩种选择 选/不选sum = Math.max(dfs(x + 1, spV), dfs(x + 1, spV - v[x]) + w[x]);}mem[x][spV] = sum;return sum;} }
题目代码3——递推(dp)
递推的公式 = dfs 向下递归的公式
递推数组的初始值 = 递归的边界import java.util.Scanner;public class _01背包问题_dp3 {static int n, m, res = 0;static int v[] = new int[1005];static int w[] = new int[1005];static int dp[][] = new int[1005][1005];public static void main(String[] args) {Scanner sca = new Scanner(System.in);n = sca.nextInt();m = sca.nextInt();for (int i = 1; i <= n; i++) {v[i] = sca.nextInt();w[i] = sca.nextInt();}//从下往上推for (int i = n; i >= 1; i--) {//i代表背包for (int j = 0; j <= m; j++) {//j代码背包体积if (j < v[i]) {//如果背包不够装dp[i][j] = dp[i + 1][j];} else if (j >= v[i]) {dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j - v[i]] + w[i]);}}}System.out.println(dp[1][m]);} }