当前位置：首页 > news >正文

计算机的错误计算（一百二十九）

news 2025/8/2 21:45:48

摘要用错数解释计算机的错误计算（一百二十七）中的计算错误的原因。

从（一百二十七）知， $f(x)$ 有四种形式：

四个 $f(0.00024)$ 分别有1位、8位、8位、0位错误数字。

下面用错数解释前面3个错误计算的由来。

（1）对于 ${f(x)=\sin^2(\frac{1}{2}x)}$ 来说， $m_1=-3\,,$ $m_2=-7\,.$ 而 $f'(x)|_{x=0.00024}=(\sin(\frac{1}{2}x)\cos(\frac{1}{2}x))|_{x=0.00024}=0.1...\textup{e}-3\,,$ 因此， $m_0=-3\,.$ 这样，错数为 $m_1-m_2+m_0=-3-(-7)+(-3)=1\,.$ 于是，计算机的输出中可能有1位错误数字，也可能没有。事实是有1位。

（2）对于 $\frac{1}{2}\big{(}1-\cos(x)\big{)}$ 与 $\frac{1}{2}\big{(}1-\sqrt{1-\sin^2(x)} \,\big{)}$ 来说，由于其中的 $1-\cos(x)$ 与 $1-\sqrt{1-\sin^2(x)}$ 会发生相减相消，并且这时， $x$ 的表示误差对结果的影响程度要远小于相减相消对结果的影响程度，所以我们只考虑相减相消所引起的误差。

令 $y=1-\cos(x)\,,$ $g(y)=\frac{1}{2}y\,.$ 现在讨论 $g(y)$ 的错数。由于 $(1-\cos(x))|_{x=0.00024}=0.28...\textup{\textup{}e}-7\,,$ 因此， $m_1=-7\,.$ 而 $m_2$ 仍然不变，亦为 $-7\,.$ 再由 $g'(y)=0.5$ 知， $m_0=0\,.$ 于是， $g(y)$ 的错数为 $m_1-m_2+m_0=-7-(-7)+0=0\,.$ 这样，若 $y$ 有误差，那么执行 $g(y)$ 运算后，结果也不会额外产生错误数字（甚至可能减少1位错误数字）。也就是说， $y$ 原来有几位错误数字，那么50%的概率 $g(y)$ 还有几位错误数字。

那么 $y=1-\cos(0.00024)$ 的输出有几位错误数字呢？相减相消“相消”了几位数字？被减数原来是1，1位整数；现在的结果变成 “-7” 位整数。那么自然少了 $1-(-7)=8$ 位数字。这样， $g(y)$ 50%的概率也有 8位错误数字，而另外50%的可能性是含有7位错误数字。事实上，最终结果是含有8位错误数字。