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【高等数学】无穷级数

news 2025/8/2 23:06:05

0. 了解

无穷级数是指将无穷多个数按照一定的规律相加起来的表达式。
打个比方，就像你有一个无穷长的梯子，每一级梯子代表一个数。把这些数一个一个加起来，就形成了无穷级数。
比如常见的等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n$ ，这里 $a$ 是首项， $r$ 是公比。如果 $|r|<1$ ,这个等比级数是收敛的，也就是它的和是一个有限的数。
无穷级数的研究主要是看它是否收敛，也就是这个无穷多个数加起来会不会趋向于一个确定的值。如果收敛，就可以求出这个和；如果不收敛，就说它是发散的。
比如级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ 就是发散的，而级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}$ 是收敛的，它的和为 $\frac1{1-\frac12}=2$ 。

无穷级数在许多数学和工程领域中有广泛的应用，包括：泰勒级数，用于近似函数值；傅里叶级数：用于信号处理和图像分析；概率论：在计算期望值和方差时经常出现。

幂级数的 $x$ 是可以变化的， $x$ 在收敛域内那么这个级数就是收敛的； $x$ 在收敛域外那么这个级数就是发散的。当 $x$ 在收敛域内时，该幂级数可以求和函数（级数和随 $x$ 变化而变化的情况）。

常数项级数就是 $x$ 为某一个值的情况，敛散性是确定的。当他收敛时，和为一个确定值而非函数。

1. 常数项级数

定义

常数项级数就是无穷多个项求和，其中每一项都是常数。

公式

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

1.1. 敛散性

1.1.1. 概念

敛散性

收敛	发散
$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^{n}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+\ldots+(\frac{1}{2})^{n}+\ldots$	$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}=2+2^{2}+\ldots+2^{n}+\ldots$

通过定义判断级数是否收敛

1. $\lim_{n\to\infty} S_n$ 极限存在，级数收敛

2. $\lim_{n\to\infty} S_n$ 极限不存在，级数发散

1.1.2. 正项级数

等比级数

例题1 判断级数 $\sum_{n=1}^\infty(\frac12)^n=\frac12+(\frac12)^2+\ldots+(\frac12)^n+\ldots$ 的敛散性。

01/步骤：找到一般项 $u_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$

02/步骤：计算 $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

$S_n=\frac12+(\frac12)^2+\ldots+(\frac12)^n$

等比数列求和公式 $S_n= a+ aq+ aq^2+ \ldots + aq^n= \frac {a( 1- q^n) }{1- q}=\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}}\\=1-(\frac12)^n$

03/步骤：计算 $\lim_{n\to\infty}S_{n}$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}[1-(\frac{1}{2})^{n}]\\$

$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{2})^{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}(1-0)=1\\$

级数 $\sum_{n=1}^\infty(\frac12)^n$ 收敛

例题2 判断级数 $\sum_{n=1}^\infty2^n=2+(2)^2+\ldots+(2)^n+\ldots$ 的敛散性。

01/步骤：找到一般项 $u_{n}=\left ( 2 \right )^{n}$

02/步骤：计算 $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$

$S_n=2+(2)^2+\ldots+(2)^n$

等比数列求和公式 $S_n= a+ aq+ aq^2+ \ldots + aq^n= \frac {a( 1- q^n) }{1- q}=\frac{2[1-(2)^{n}]}{1-2}\\=2^{n+1}-2$

03/步骤：计算 $\lim_{n\to\infty}S_{n}$

$\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}[2^{n+1}-2]=\infty\\$

级数 $\sum_{n=1}^\infty(2)^n$ 发散

p级数

例题3 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac1{n^2})$ 的敛散性。

$u_n=ln(1+\frac1{n^2})$

$u_n=ln(1+\frac1{n^2})\sim\frac1{n^2}$

$p-$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$ 收敛

因此级数 $\sum_{n=1}^\infty ln(1+\frac1{n^2})$ 收敛

例题4 判断级数 $\sum_{n=1}^\infty2^nsin\frac1{3^n}$ 的敛散性。

$\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$ $u_{n}=2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$

且 $n\to\infty$ 时 $\frac{1}{3^{n}}\to0, sin\frac{1}{3^{n}}\sim\frac{1}{3^{n}},u_{n}=2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}\sim2^{n}\frac{1}{3^{n}}=(\frac{2}{3})^{n}$

等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^{n}$ 收敛，因此 $\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}sin\frac{1}{3^{n}}$ 收敛

含有a_n,n!

例题5 判断级数 $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}$ 的敛散性。

01/步骤：写出 $u_n$ 和 $u_{n+1}$

$u_n=\frac{2^nn!}{n^n}\quad u_{n+1}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$

02/步骤：求比值 $\frac{u_{n+1}}{u_n}$

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^nn!}{n^n}}=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}=\frac{2^n\cdot2(n+1)n!}{(n+1)^n(n+1)}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}=\frac{2n^n}{(n+1)^n}$