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数据结构_二叉树

news 2025/7/21 15:50:40

一、树型结构

二、二叉树

2.1 概念

2.2 特殊的二叉树

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储

2.5 遍历二叉树

2.6 操作二叉树

总结

一、树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由 n(n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合，一棵 n 个结点的树有 n-1 条边。

结点的度：一个节点具有的子树个数称为该结点的度。如上图，结点 A 的度为 6。
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度。如上图，树的度为 6。
叶子结点 (终端结点)：度为 0 的结点称为叶子结点。如上图，B、C、H、I、N 等结点为叶子结点。
父结点 (双亲结点)：若一个结点含有子结点，则称该结点为其子结点的父节点。如上图，A 是 B 的父结点。
根结点：是每棵树的起始结点，即没有父结点的结点。如上图，A 为根结点。
子结点 (孩子结点)：一个结点含有的子树的根结点，称为该结点的子节点。如上图，B 是 A 的子结点。
结点的层次：从根结点开始，根结点为第 1 层，根结点的子结点为第 2 层，以此类推。如上图，结点 A 为第 1 层，结点 B、C、D 等为第 2 层。
树的高度 (深度)：树中结点的最大层次。如上图，树的高度为 4。
分支结点：度不为 0 的结点。
兄弟结点：具有相同父结点的结点互为兄弟。
堂兄弟结点：父结点在同一层的结点互为堂兄弟。
结点的祖先：从根结点到该结点分支上的所有结点。如上图，A 是所有结点的祖先。
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图，所有结点都是 A 的子孙。
森林：由 m(m>=0) 棵互不相交的树组成的集合称为森林。

二、二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，二叉树有两种情况：

① 空树；

② 由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

【特点】

1、二叉树不存在度大于 2 的结点；

2、二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 特殊的二叉树

1、满二叉树：若一棵二叉树每层的结点数都达到最大值，则这棵树就是满二叉树。即若一棵二叉树的高度为 k，且结点总数是 $2^{k}-1$ ，则它就是满二叉树。

2、完全二叉树：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。对于高度为 K，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为 k 的满二叉树中编号从 0 至 n-1 的结点一一对应时称为完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

一棵非空二叉树的第 k 层上最多有 $2^{k-1}(k>0)$ 个结点；
高度为 k 的二叉树最大结点数为 $2^{k}-1(k>=0)$ ；
叶子结点个数为 $n_{0}$ ，度为 2 的结点个数为 $n_{2}$ ，则有 $n_{0} = n_{2}+1$ ；
有 n 个结点的完全二叉树高度为 $[log_{2}n]+1$ ；("[]"为取整)
一棵有 n 个结点的完全二叉树，对于其编号为 i 的结点有：

若 i > 0，父结点编号：[(i-1) / 2]；若 i = 0，则 i 为根结点编号，无父结点。
若 2i+1 < n，左孩子编号：2i+1；反之无左孩子。
若 2i+2 < n，右孩子编号：2i+2；反之无右孩子。

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个结点引用构造出的，例如，孩子表示法和孩子双亲表示法：

    //孩子表示法class Node {int val; //数据域Node left; //左孩子Node right; //右孩子}//孩子双亲表示法class Node {int val; //数据域Node left; //左孩子Node right; //右孩子Node parent; //当前节点的父亲节点}

2.5 遍历二叉树

【前中后序遍历】

前序(NLR)：根结点 → 左子树 → 右子树；(根左右)

中序(LNR)：左子树 → 根结点 → 右子树；(左根右)

后序(LRN)：左子树 → 右子树 → 根结点；(左右根)

前序：ABDEGCF

中序：DBGEAFC

后序：DGEBFCA

public class BinaryTree {//孩子表示法static class TreeNode {public String val; //数据域public TreeNode left; //左孩子public TreeNode right; //右孩子public TreeNode(String val) {this.val = val;}}//构建树，返回根结点public TreeNode createTree() {TreeNode A = new TreeNode("A");TreeNode B = new TreeNode("B");TreeNode C = new TreeNode("C");TreeNode D = new TreeNode("D");TreeNode E = new TreeNode("E");TreeNode F = new TreeNode("F");TreeNode G = new TreeNode("G");A.left = B;A.right = C;B.left = D;B.right = E;E.left = G;C.left = F;return A;}//前序遍历public void preOrder(TreeNode root) {//若为空树，返回if (root == null) {return;}System.out.print(root.val + " "); //根preOrder(root.left); //左preOrder(root.right); //右}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root) {//若为空树，返回if (root == null) {return;}inOrder(root.left);//左System.out.print(root.val + " ");//根inOrder(root.right);//右}//后序遍历public void postOrder(TreeNode root) {//若为空树，返回if (root == null) {return;}postOrder(root.left);//左postOrder(root.right);//右System.out.print(root.val + " ");//根}
}public class Main {public static void main(String[] args) {//创建二叉树对象BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();//构建二叉树BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.createTree();binaryTree.preOrder(root);//前序：A B D E G C F System.out.println();binaryTree.inOrder(root);//中序：D B G E A F CSystem.out.println();binaryTree.postOrder(root);//后序：D G E B F C A }
}

【层序遍历】

层序遍历：即自上而下、从左至右逐层访问树的结点的遍历过程。

2.6 操作二叉树

采用子问题思路来实现二叉树的操作。

1、获取树中结点个数

    //获取树中结点的个数public int size(TreeNode root) {//若为空树，返回if (root == null) {return 0;}//返回根结点的左子树 + 根结点的右子树 + 根结点本身return size(root.left) + size(root.right) + 1;}

2、获取树中叶子结点个数

    //获取叶子结点的个数public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {//若为空树，返回if (root == null) {return 0;}//若无左子树与右子树，便是叶子结点if (root.left == null && root.right == null) {//是叶子结点，返回 1return 1;}//返回根结点的左子树、右子树中的叶子结点return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);}

3、获取第 K 层结点个数

    //获取第 K 层结点的个数public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {//若为空树，返回if (root == null) {return 0;}//第 K 层是第 1 层根结点的第 K-1 层，//也是第 2 层结点的第 K-2 层。//即第 K 层结点的第 1 层，if (k == 1) {return 1;}//返回根结点的左子树、右子树的第 K 层结点return getKLevelNodeCount(root.left, k-1) + getKLevelNodeCount(root.right, k-1);}

4、获取二叉树的高度

    //获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root) {//若为空树，返回if (root == null) {return 0;}//左子树高度int leftHeight = getHeight(root.left);//右子树高度int rightHeight = getHeight(root.right);//根结点的左子树与右子树对比，//谁高返回谁 + 根结点本身，即左(右)子树高度 + 1。return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;}

5、检测值为 val 的元素是否存在

    //检测值为 val 的元素是否存在public TreeNode find(TreeNode root, String val) {//若为空树，返回if (root == null) {return null;}//判断根结点元素if (root.val == val) {return root;}//判断根结点的左子树TreeNode left = find(root.left, val);if (left != null) {return left;}//判断根结点的右子树TreeNode right = find(root.right, val);if (right != null) {return right;}return null;}