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假设检验学习笔记

news 2025/7/6 2:34:44

1. 假设检验的基本概念

1.1. 原假设（零假设）

对总体的分布所作的假设用 $H_0$ 表示，并称为原假设或零假设
在总体分布类型已知的情况下，仅仅涉及总体分布中未知参数的统计假设，称为参数假设
在总体分布类型未知的情况下，对总体分布类型或者总体分布的某些特性提出的统计假设，称为非参数假设

1.2. 假设检验中的两类错误

2. 单个正态总体参数的显著性检验

对假设 $H_0$ 的一个检验法完全决定于小概率事件A的选择。

2.1. μ检验

已知 $\sigma^2=\sigma_0^2$ ，检验 $H_0:\mu=\mu_0$

选择统计量

$u=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0}\sqrt{n} \ \ \ (1)$

在 $H_{\mathrm{o}}$ 成立的假定下，它服从N(0,1)分布。对给定的显著性水平 $\alpha$

查表可得临界值，使得

$P\left(|u|\geq u_{\frac{\alpha}{2}}\right)=\alpha$

这说明

$A=\{\mid u\mid\geqslant u_{\frac{\alpha}{2}}\}$

为小概率事件

将样本值代人(1)式算出统计量的值u。如果 $\left|u\right|\geqslant u_{\frac a2}$ ，则表明在一次试验中小概率事件A出现了，因而拒绝 $H_{0}$ 。这种检验法称为u检验。

已知方差时对正态总体均值的显著性检验归纳为以下几个步骤：

(1) 提出统计假设 $H_0:\mu=\mu_0$ ；

(2) 选择统计量 $u=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0}\sqrt{n}$ ，并从样本值计算出统计量的值u；
(3) 对给定的显著性水平 $\alpha$ ，从附表 2 查出在 $H_{0}$ 成立的条件下，满足等式 $P(\mid u\mid\geq u_{\frac{\alpha}{2}})=\alpha$ 的临界值 $u_\frac{\alpha}{2}$ ；
(4) 作结论：如果 $|u|\geqslant u_\frac a2$ ，则拒绝 $H_0$ ；反之，可接受 $H_0$ 。

已知 $\sigma^2=\sigma_0^2$ ，检验 $H_0:\mu\leqslant\mu_0$

选取统计量

$u=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0}\sqrt{n} \ \ \ (2)$
并令

$\widetilde{u}=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma_{0}}\sqrt{n}$

则 $\widetilde u\sim N(0,1)$ ，若 $H_0$ 成立，还有 $u\leq\widetilde{u}$

对给定的 $\alpha$ ，由附表 2 可查得临界值 $u_{a}$ ，使得

$P(\widetilde{u}\geqslant u_{\alpha})=\alpha$

由式(2.2.5)可得

$P\left(u\geqslant u_{\alpha}\right)\leqslant P\left(\widetilde{u}\geqslant u_{\alpha}\right)=\alpha$

这说明事件“ $u\geqslant u_a$ ”是小概率事件。因此 $H_0$ 的拒绝域为 $u\geqslant u_a$ ，将样本值代人式(2)算出统计量的值u，若 $u\geqslant u_{\alpha}$ ，则拒绝 $H_0$ ；否则可接受 $H_0$ 。

2.2. t检验

2.3. 卡方检验

3. 两个正态总体参数的显著性检验

3.1. F检验

正态总体参数显著性检验表

3.2. t检验

在假设检验中：

以上3种检验的检验法则与检验效果是一致的。

在假设检验中：

以上3种检验的检验法则与检验效果是一致的。

4. 非参数假设性检验

$\chi^2$ 拟合优度检验

皮尔逊统计量

总结一下利用 $\chi^2$ 拟合优度检验来检验关于总体分布的假设，步骤如下：

参考文献

假设检验-CSDN博客

https://zhuanlan.zhihu.com/p/545859256

http://www.lryc.cn/news/359306.html

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