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Kalman Filter in SLAM (3) ——Extended Kalman Filter (EKF, 扩展卡尔曼滤波)

news 2025/6/21 9:31:53

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文章目录

1. 线性系统的 Kalman Filter 回顾
2. Extended Kalman Filter 之 DR_CAN讲解笔记
- 2.1. 非线性系统
- 2.2. 非线性系统线性化
- - 2.2.1. 状态方程 $f(x_k)$ 在上一次的最优估计状态 $x^k−1\hat{x}_{k-1}$ 处线性化
  - 2.2.2. 观测方程 $h(x_k)$ 在这一次的预测状态 $x~k\tilde{x}_k$ 处线性化
- 2.3. Extended Kalman Filter
3. Extended Kalman Filter 之我的理解与详细解释

1. 线性系统的 Kalman Filter 回顾

系统状态空间方程：
$xk=Axk−1+BUk−1+wk−1P(ω)∼N(0,Q)zk=Hxk+HkP(v)∼N(0,R)\begin{array}{ll} x_k=A x_{k-1}+B U_{k-1}+w_{k-1} & P(\omega) \sim N(0, Q) \\ z_k=H x_k+H_k & P(v) \sim N(0, R) \end{array}$
预测：
$x^k−=Ax^k−1+Buk−1Pk−=APk−1A⊤+Q\begin{aligned} & \hat{x}_k^{-}=A \hat{x}_{k-1}+B u_{k-1} \\ & P_k^{-}=A P_{k-1} A^{\top}+Q \end{aligned}$
矫正（更新）：
$Kk=Pk−H⊤HPk−H⊤+RY^k=X^k−+Kk(Zk−HX^k−)Pk=(I−KkH)Pk−\begin{aligned} & K_k=\frac{P_k^{-} H^{\top}}{H P_k^{-} H^{\top}+R} \\ & \hat{Y}_k=\hat{X}_k^{-}+K_k\left(Z_k-H \hat{X}_k^{-}\right) \\ & P_k=\left(I-K_k H\right) P_k^{-} \end{aligned}$

2. Extended Kalman Filter 之 DR_CAN讲解笔记

2.1. 非线性系统

对于非线性系统来说，系统数学模型和观测模型无法用状态空间方程来表达，因为状态空间方程是线性方程，而非线性系统的这两个模型都是非线性的。可以写成如下形式：
$xk=f(xk−1,uk−1,ωk−1)P(ω)∼N(0,Q)zk=h(xk,vk)P(v)∼N(0,R)\begin{aligned} & x_k=f\left(x_{k-1}, u_{k-1}, \omega_{k-1}\right) & P(\omega) \sim N(0, Q)\\ & z_k=h\left(x_k, v_k\right) & P(v) \sim N(0, R) \end{aligned}$

注意：上述的高斯噪声是在非线性函数里面的，这样即使噪声原本是高斯的，但是经过非线性系统之后，它的分布也不再是高斯分布了，如下图所示。

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可以发现，Kalman Filter的两个前提条件：（1）线性系统；（2）高斯噪声，已经全都不满足了。

所以对于非线性系统应用 Kalman Filter 的最好方法就是对系统在工作点/线性化点 进行线性化，因为只有线性化之后我们才能写成线性的形式，才能得到系数矩阵 $A$ 和 $H$ ，进而计算Kalman Gain，最后进行数据融合。

2.2. 非线性系统线性化

线性化需要在一个线性化点进行，对于非线性系统的Kalman Filter来说，最准确的地方就是在真实状态点进行线性化。

但是真实状态点到底是多少我们永远都不知道，因为如果知道了就不需要做 Kalman Filter了。所以我们只能在我们知道的工作点处进行线性化，我们知道的工作点有两个：

上一次的最优估计状态 $x^k−1\hat{x}_{k-1}$
这一次的先验估计状态 $x^k−\hat{x}_k^-$

2.2.1. 状态方程 $f(x_k)$ 在上一次的最优估计状态 $x^k−1\hat{x}_{k-1}$ 处线性化

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2.2.2. 观测方程 $h(x_k)$ 在这一次的预测状态 $x~k\tilde{x}_k$ 处线性化

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2.3. Extended Kalman Filter

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3. Extended Kalman Filter 之我的理解与详细解释

既然是卡尔曼滤波，自然就是两个方程：状态方程和观测方程。由于卡尔曼滤波是离散的，所以下面我们先给出IMU的离散状态空间方程和状态观测方程如下：

$xk=f(xk−1,wk−1)zk=h(xk,vk)\boldsymbol x_{k} = \boldsymbol f(\boldsymbol x_{k-1} , \boldsymbol w_{k-1}) \\ \boldsymbol z_{k} = \boldsymbol h(\boldsymbol x_{k}, \boldsymbol v_{k} ) \\$

由于这两个方程都是非线性方程，所以为了使用使用卡尔曼滤波，必须对他们进行线性化。并且由于线性化必须知道线性化工作点，而我们实际知道的都是名义状态值，这里的名义值包括 上一次的状态后验值 $xˇk−1\boldsymbol {\check{x}}_{k-1}$ 和 这一次的状态先验值 $x^k\boldsymbol {\hat{x}}_{k}$ 。所以对上面两个公式进行线性化也都是在 名义状态 的地方进行线性化，得到如下的公式：

$x^k=f(x^k−1,0)+Fk−1(xk−1−xˇk−1)+Wk−1wk−1zk=h(x^k,0)+Hk(xk−x^k)+Vkvk\boldsymbol {\hat{x}}_{k} = \boldsymbol f(\boldsymbol {\hat{x}}_{k-1} , \boldsymbol 0) + \boldsymbol F_{k-1} (\boldsymbol x_{k-1} - \boldsymbol {\check{x}}_{k-1}) + \boldsymbol W_{k-1} \boldsymbol w_{k-1} \\ \boldsymbol z_{k} = \boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0) + \boldsymbol H_{k} (\boldsymbol x_{k} - \boldsymbol {\hat{x}}_{k}) + \boldsymbol V_{k} \boldsymbol v_{k}$

注意：

（1） 时刻记住我们线性化的关键目的是什么：是为了得到系数矩阵，从而变成线性系统，可以使用典型的线性系统卡尔曼滤波。

（2） 上面的方程线性化出来的两个固定函数值 $f(x^k−1,0)\boldsymbol f(\boldsymbol {\hat{x}}_{k-1} , \boldsymbol 0)$ 和 $h(x^k,0)\boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0)$ 对我们使用卡尔曼滤波没有影响，因为我们计算协方差矩阵的时候是使用系数矩阵来计算的。

（3）假设传感器观测到的值是 $zm\boldsymbol z_m$ ，这里省略掉了时间下标 $k$ ，然后用下标 $m$ 表示是 观测的测量值。然后用 $z\boldsymbol z$ 代表预测观测值，也就是我们把IMU预测得到的状态（先验状态） $x^k\boldsymbol {\hat{x}}_{k}$ 带入到观测方程中得到的 计算出来的观测值。因为看上面的典型的卡尔曼滤波公式就知道，我们是把IMU 先验状态 带入观测方程中得到一个 计算出来的预测观测值，然后和真正的观测传感器的测量值作差，再乘以卡尔曼增益进行校正。所以这里计算的 预测观测值 表达公式如下（因为我们在计算，噪声不知道是多少，所以简化为0）：
$z=h(x^k,0)+Hk(x^k−x^k)+Vk0=h(x^k,0)\boldsymbol z = \boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0) + \boldsymbol H_{k} (\boldsymbol {\hat{x}}_{k} - \boldsymbol {\hat{x}}_{k}) + \boldsymbol V_{k} \boldsymbol 0 = \boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0)$

（4）重要：上面的公式中， $xk−1\boldsymbol {x}_{k-1}$ 和 $xk\boldsymbol {x}_{k}$ 是 自变量， $x^k\boldsymbol {\hat x}_k$ 和 $zk\boldsymbol z_{k}$ 是 函数值，所以我们带入不同的自变量值会得到不同的函数值。比如我们实际计算的时候，在预测方程中带入的是 上一次的后验状态值 $xˇk−1\boldsymbol {\check{x}}_{k-1}$ ，那么得到的就是 本次的先验状态值 $x^k=f(x^k−1,0)\boldsymbol{\hat{x}}_{k} = \boldsymbol f(\boldsymbol {\hat{x}}_{k-1}, \boldsymbol 0)$ ；我们在观测方程中带入 本次的先验状态值，得到的就是 本次的先验预测观测值 $zk=h(x^k,0)\boldsymbol z_{k} = \boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0)$ 。

（5）注意：在我们计算卡尔曼滤波的时候，我们只能按照（4）中所说的那样带入 上一次的先验状态到状态方程，然后带入 这一次的先验状态到观测方程。因为在典型的线性卡尔曼滤波中就是这么做的，我们就是要融合状态方程和观测方程。

最后，给出EKF的卡尔曼滤波方程为：

预测公式：
$带入上一时刻的后验状态到自变量中，即xk−1←xˇk−1:x^k=f(x^k−1,0)+Fk−1(xˇk−1−xˇk−1)=f(x^k−1,0)P^k=Fk−1Pˇk−1Fk−1T+Q带入上一时刻的后验状态到自变量中，即\boldsymbol x_{k-1} \leftarrow \boldsymbol {\check{x}}_{k-1} : \\\boldsymbol {\hat{x}}_{k} = \boldsymbol f(\boldsymbol {\hat{x}}_{k-1} , \boldsymbol 0) + \boldsymbol F_{k-1} (\boldsymbol {\check{x}}_{k-1} - \boldsymbol {\check{x}}_{k-1}) = \boldsymbol f(\boldsymbol {\hat{x}}_{k-1} , \boldsymbol 0) \\ \ \boldsymbol {\hat P}_{k} = \boldsymbol F_{k-1} \boldsymbol {\check P}_{k-1} \boldsymbol F_{k-1} ^{T}+ \boldsymbol Q$

校正公式：
$带入这一时刻的先验状态到自变量中，即xk←x^k:zk=h(x^k,0)+Hk(x^k−x^k)=h(x^k,0)Kk=P^kHTHP^kHT+Rxˇk=x^k+Kk(zm−h(x^k,0))Pˇk=(I−KkH)P^k带入这一时刻的先验状态到自变量中，即\boldsymbol x_{k} \leftarrow \boldsymbol {\hat{x}}_{k} : \\ \boldsymbol z_{k} = \boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0) + \boldsymbol H_{k} (\boldsymbol {\hat{x}}_{k} - \boldsymbol {\hat{x}}_{k}) = \boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0) \\ \begin{gathered} \boldsymbol K_{k}=\frac{ \boldsymbol {\hat P}_{k} \boldsymbol H^{T}}{ \boldsymbol H \boldsymbol {\hat P}_{k} \boldsymbol H^{T} + \boldsymbol R} \\ \boldsymbol {\check {x}}_{k} = \boldsymbol {\hat{x}}_{k} + \boldsymbol {K}_{k}\left( \boldsymbol {z}_m - \boldsymbol h(\boldsymbol {\hat{x}}_{k}, \boldsymbol 0) \right) \\ \boldsymbol {\check P}_{k}=\left( \boldsymbol I- \boldsymbol K_{k} \boldsymbol H\right) \boldsymbol {\hat P}_{k} \end{gathered}$