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01背包问题刷题笔记

news 2025/8/3 22:23:22

思路 dp
用f[i][j]来表示当体积为j时考虑前i件物品可以获得的最大值
记住f[i][j]本身是个价“价值”
考虑两种状态是否将第i件物品放入背包里面
将背包的体积从小到大递增来进行考虑
首先考虑条件如果当前增加的体积放不下下一件物品
则该体积可以获得的最大值可以直接继承上一个f[i-1][j]
如果可以放下则比较放入与不放入谁获得的值较大
即 f[i-1][j]与f[i-1][j-v[i]]+w[i]比较
//-v[i]是为了减去放入后的背包体积
加w[i]是为了加上放入后获得的价值
每一次存下的都是基于考虑到当前物品的最优选择
比方说前面已经进行了i件物品的选择
获得了一个基于i件物品的最大值
这时候第i+1件物品突然出现体积为1，价值1000000；
那么当背包体积只有1时的最大值会立刻被更新成100000；
此时仍然是最优选择
代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int w[N],v[N];
int n,m;
int main(){
   cin>>n>>m;
   for(int i=1;i<=n;i++){
       cin>>v[i]>>w[i];
   }
   for(int i=1;i<=n;i++){
       for(int j=1;j<=m;j++){
           if(j<v[i]){
           f[i][j]=f[i-1][j];
           }else{
               f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
           }

       }
   }
   cout<<f[n][m];
   return 0;
}

优化思路

二维到一维

我们发现考虑第i件物品时的最大值来自前面一层i-1件物品的最大值

也就是说所有的当前层都只来自上一层的最大值

而上上层已经不重要了

因此有没有可能直接删掉层数记录

观察发现f[i][]是从f[i-1][]这一层更新出来的

此时我们直接删除i

只使用j

观察式子f[j-v[i]]+w[i]

也就是说如果我们逆序更新的话需要使用和比较的数是j-v[i]

这个数是绝对小于j的如果将j从m往0更新

保证了更新时只有大于等于j的数被覆盖掉了

而我们需要用的 j-v[i]则被保留下来

举例

如果我们逆序更新的话

假设原来 f[j](1-5)是

1 2 5 7 9

然后我们逆序更新

for(int i=0;i<n;i++){
       for(int j=m;j>=v[i];j--){
           f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
       }
   }

假设此时j=5,v[i]=2, f[j-v[i]]+w[i]=11那么

我们和上一个f[3]比较比较完了以后将上一个f[5]覆盖掉

此时f[j](1-5)的情况为

1 2 5 7 11

然后当j=4;

v[i]=1;

f[j-v[i]]+w[i]=9;

即我们需要用的是f[3]

此时f[3]并没有被污染

执行以后

f[j](1-5)的情况为

1 2 5 9 11

以此类推我们的目的达到了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int w[N],v[N];
int j[N];
int n,m;
int main(){
   cin>>n>>m;
   for(int i=0;i<n;i++){
       //int x,y;
       cin>>v[i]>>w[i];
       //v[i]=x;
       //w[i]=y;
   }
   for(int i=0;i<n;i++){
       for(int j=m;j>=v[i];j--){
           f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
       }
   }
   cout<<f[m];
   return 0;