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【算法分析与设计】组合

news 2025/8/21 10:56:59

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🔥系列专栏：算法分析与设计

⛺️稳中求进，晒太阳

题目

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[[2,4],[3,4],[2,3],[1,2],[1,3],[1,4],
]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

思路(回溯+剪枝)

        如果解决一个问题有多个步骤，每一个步骤有多种方法，题目又要我们找出所有的方法，可以使用回溯算法；
        回溯算法是在一棵树上的深度优先遍历（因为要找所有的解，所以需要遍历）；
        组合问题，相对于排列问题而言，不计较一个组合内元素的顺序性（即 [1, 2, 3] 与 [1, 3, 2] 认为是同一个组合），因此很多时候需要按某种顺序展开搜索，这样才能做到不重不漏。
        回溯算法首先需要画出递归树，不同的树决定了不同的代码实现。下面给出了两种画树的思路。

根据搜索起点画出二叉树

既然是树形问题上的深度优先遍历，因此首先画出树形结构。例如输入：n = 4, k = 2，我们可以发现如下递归结构：

        如果组合里有 1 ，那么需要在 [2, 3, 4] 里再找 1 个数；
        如果组合里有 2 ，那么需要在 [3, 4] 里再找 1数。注意：这里不能再考虑 1，因为包含 1 的组合，在第 1 种情况中已经包含。
        依次类推（后面部分省略），以上描述体现的递归结构是：在以 n 结尾的候选数组里，选出若干个元素。画出递归结构如下图：

说明：

        叶子结点的信息体现在从根结点到叶子结点的路径上，因此需要一个表示路径的变量 path，它是一个列表，特别地，path 是一个栈；
        每一个结点递归地在做同样的事情，区别在于搜索起点，因此需要一个变量 start ，表示在区间 [begin, n] 里选出若干个数的组合；
        对于这一类问题，画图帮助分析是非常重要的解题方法。

代码实现

class Solution {public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();if (k <= 0 || n < k) {return res;}// 从 1 开始是题目的设定Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();dfs(n, k, 1, path, res);return res;}public static void dfs(int n,int k,int begin,Deque<Integer> path,List<List<Integer>> res){//递归中止条件 path长度为kif(path.size()==k){res.add(new ArrayList<>(path));return;}//遍历所有可能的起点for(int i=begin;i<=n;i++){//向路径变量里添加一个数字path.addLast(i);dfs(n,k,i+1,path,res);path.removeLast();}}
}