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推导部分和——带权并查集

news 2025/7/27 23:49:02

在这里插入图片描述

题解：

带权并查集

引言： 带权并查集是一种进阶的并查集，通常，结点i的权值等于结点i到根节点的距离，对于带权并查集，有两种操作需要掌握——Merge与Find，涉及到路径压缩与维护权值等技巧。

带权并查集的数据结构

使用顺序存储结构，定义结构体数组，其中a[i]的root代表节点 i 的根节点编号，weight代表它与root号节点之间的距离，也就是权值。
```
struct node {int root;ll weight;node() :root(0), weight(0) {}
}a[100005];
```

Find函数+权值合并

首先，在执行整个并查集算法之前，需要首先初始化每一个结点的根节点编号为它本身，意思就是说，每一个结点在初始状态时都被视为一颗单独的并查集树，即：
```
for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i].root = i;
}
```
当我们想要去查询一个节点的根节点时，调用find函数：
- 传入：想要查询的结点编号x
- 返回：第x号结点的根节点编号
```
//路径压缩+权值合并
int find(int x) {if (x != a[x].root) {//更新x的根节点int tmp = a[x].root;a[x].root = find(a[x].root);a[x].weight += a[tmp].weight;}return a[x].root;
}
```
- 在函数体内：
  - 当结点x的root值为它自己时，即 x == a[x].root 时，直接返回a[x].root
  - 否则，递归查找它根节点的根节点
  - 在递归之前，使用tmp暂存x当前的根节点编号。这是由于在查找的过程中，我们使用了路径压缩的技巧，使a[x].root被赋值为find函数的返回值，但是在后续的计算中，我们又需要使用到这个旧的a[x].root值。
  - 在路径压缩的同时，我们必须要维护权值a[x].weight使其始终等于x号结点到a[x].root号结点的距离。
  - 在路径压缩之前，a[x].weight存储的是x到旧的root的距离，但root发生更改后，此时新的权值a[x].weight应该修改为dist(新root,旧root) + dist(旧root，x)才能符合权值的定义，dis(新root, 旧root)将会被递归计算出来，而dis(旧root, x)正是a[x].weight现在存储的值，因此，我们必须要记下旧root的编号才能找到旧root的位置，这也就是tmp发挥的作用。

合并

当我们得到了两个结点之间的距离，并且想要将这两个结点合并，按照并查集的思想，应当先找到他们各自的根节点，然后再将两颗树合并。然而，我们现在所获取的信息并不是根节点的信息，因此我们需要对已知的信息做一个转化：
- 假设我们现在得到的新的信息是第l-1个节点到第r个节点的距离为w，设第l-1个节点的根节点编号为x，第r个节点的根节点编号为y。
- 首先，我们通过 $f in d (l - 1)$ 和 $f in d (r)$ 获得x与y的值，经过find函数内部的权值维护之后，此时，a[l-1].weight和a[r].weight已经分别被修改为l-1到x和r到y的距离了，设它们分别为w1和w2.
- 通过上图，其实我们很容易就能看出x到y的距离为: $w+w_2-w1$
- 在这，我们只需要算出x到y的距离就好了，在后续调用find函数执行路径压缩和权值合并时将会处理掉它，因此，我们合并的操作就是：
```
int l, r, w;
l = read(), r = read(), w = read();
//x为l-1的根节点，y为r的根节点
int x = find(l - 1), y = find(r);
//若l-1与r的根节点不相同
if (x != y) {//将结点x并入y的子树a[x].root = y;//根据向量的思想计算a[x].weight = w + a[r].weight - a[l - 1].weight;
}
```

查询

写到这里，这个题目已经接近尾声。（此处再次强调a[i].weight的意义是从第i个节点到第a[i].root个节点的距离，接下来要用的） 当我们维护好了一颗带权并查集树之后，那我们查询区间和就只有两种情况：

设区间左端点为l，右端点为r，则
- 当l与r的根不相同时，则无法查询出l到r的区间和。
- 当l与r的根相同时，则有 $s [l .. r] = a [l - 1] . w e i g h t - a [r] . w e i g h t$
- 以图形的方式表达，蓝色部分即为所求的区间和：

完整代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n, m, q;//带权并查集结点
struct node {int root;ll weight;node() :root(0), weight(0) {}
}a[100005];
//快读
int read() {char ch = getchar(); int res = 0;while (ch < '0' || ch>'9') {ch = getchar();}while (!(ch < '0' || ch>'9')) {res = res * 10 + (ch - '0');ch = getchar();}return res;
}
//快写
void print(ll x) {if (x > 9) {print(x / 10);}putchar(x % 10 + '0');
}//路径压缩+权值合并
int find(int x) {if (x != a[x].root) {//更新x的根节点int tmp = a[x].root;a[x].root = find(a[x].root);a[x].weight += a[tmp].weight;}return a[x].root;
}int main()
{cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n; i++) {a[i].root = i;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int l, r, w;l = read(), r = read(), w = read();//x为l-1的根节点，y为r的根节点int x = find(l - 1), y = find(r);//若l-1与r的根节点不相同if (x != y) {//将结点x并入y的子树a[x].root = y;//根据向量的思想计算a[x].weight = w + a[r].weight - a[l - 1].weight;}}for (int i = 1; i <= q; i++) {int l, r; cin >> l >> r;if (find(l - 1) != find(r)) {puts("UNKNOWN");}else {print(a[l - 1].weight - a[r].weight);putchar('\n');}}return 0;
}