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详解洛谷P2016 战略游戏/BZOJ0495. 树的最小点覆盖之战略游戏(贪心/树形DP)

news 2025/8/10 7:14:37

Description

Bob喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。

他要建立一个古城堡，城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能了望到所有的路。

注意，某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被了望到。

请你编一程序，给定一树，帮Bob计算出他需要放置最少的士兵.

Format

Input

第一行 N，表示树中结点的数目。

第二行至第N+1行，每行描述每个结点信息，依次为：该结点标号i，k(后面有k条边与结点I相连)。

接下来k个数，分别是每条边的另一个结点标号r1，r2，…，rk。

对于一个n(0<n<=1500)个结点的树，结点标号在0到n-1之间，在输入数据中每条边只出现一次。

Output

输出文件仅包含一个数，为所求的最少的士兵数目。

Samples

输入数据 1

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输出数据 1

Copy

Hint 答案为1（只要一个士兵在结点1上）。

思路1:树形DP

可以先看看详解洛谷P1352 没有上司的舞会(树形DP经典例题)-CSDN博客

定义状态dp[x][0/1]表示x这个节点不放/放士兵

根据题意,如果当前节点不放置士兵,那么它的子节点必须全部放置士兵,因为要满足士兵可以看到所有的边

dp[x][0] += dp[son][1]

其中son是u的子节点

如果当前节点放置士兵,只要将dp[x][1]加上它的子节点选不选的最小值就行了(因为树形dp自下而上,上面的节点不需要考虑)

dp[x][1]+=min(dp[son][0],dp[son][1])

代码(树形DP)

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,u,v,dp[10001][2];
vector<int> vec[100001];
void dfs(int fa,int x)
{dp[x][1] = 1;for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)if(vec[x][i] != fa){dfs(x,vec[x][i]);dp[x][0] += dp[vec[x][i]][1];dp[x][1] += min(dp[vec[x][i]][0],dp[vec[x][i]][1]);}
}
signed main()
{cin>>n;for(int i = 1;i <= n;i++){int p;cin>>p>>u;for(int j = 1;j <= u;j++){cin>>v;vec[p].push_back(v);vec[v].push_back(p);}}dfs(-1,0);cout<<min(dp[0][1],dp[0][0]);return 0;
}

思路2:贪心

可以按照反方向的深度优先遍历序列来进行贪心。每检查一个结点,如果当前点和当前点的父节点都不属于顶点覆盖集合,则将父节点加入到顶点覆盖集合,并标记当前节点和其父节点都被覆盖.

虽然说着思路很简单，但是代码细节蛮多的，可以参考一下。

代码(贪心)

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,u,v,ans,fat[100001],cnt;
struct st
{int zhi,id;
}dp[100001];
bool vis[100001];
vector<int> vec[100001];
void dfs(int fa,int x,int dep)
{dp[++cnt] = {dep,x};fat[x] = fa;for(int i = 0;i < vec[x].size();i++)if(vec[x][i] != fa)dfs(x,vec[x][i],dep + 1);
}
bool cmp(st x,st y)
{return x.zhi > y.zhi;
}
signed main()
{cin>>n;for(int i = 1;i <= n;i++){int p;cin>>p>>u;for(int j = 1;j <= u;j++){cin>>v;vec[p].push_back(v);vec[v].push_back(p);}}vis[1501] = 1;dfs(1501,0,1);sort(dp + 1,1 + dp + n,cmp);for(int i = 1;i <= n;i++)if(vis[dp[i].id] == 0 && vis[fat[dp[i].id]] == 0){vis[fat[dp[i].id]] = 1;vis[dp[i].id] = 1;ans++;}cout<<ans;return 0;
}